[腦力大挑戰] Mathematical analysis BB班

希望樓主呢篇可以引起人對數學分析嘅好奇/興趣啦

如果成日講我上面堆外星話應該無人會理㗎喇

數學無涯 回頭是岸

數學分析呢門學問唔做返啲exercise係好難真正明白。

咁呢樣我都幫唔到手
唔通成份exercise掉上嚟咩

於是我地可以歸納到個條件就係
1. 只要我地不斷數落去，我地想幾近個數都得
2. 唔畀彈出又彈入 (最尾嗰題就fail咗呢樣)

於是我地可以將呢兩個條件寫成鬼畫符:

翻譯蒟蒻:
A sequence {an} converges to L if (for all) ϵ>0, (there exists) a natural number N such that |an - L|<ϵ (for all) n≥N.

係咪開始有啲難度

呢句入面嘅ϵ就係我地'想幾近就幾近'嘅概念
我地求其畀一個距離ϵ(0.0000001又得，再細啲亦得)
咁呢個數列第N個term打後嘅數同L嘅距離都係細過ϵ
呢個條件同時禁止咗彈出又彈入，因為第N個term打後嘅數都走唔出L-ϵ同L+ϵ嘅五指山
於是我地成功封印咗孫悟空喇

如果一條數列滿足上面嘅條件，我地就叫佢收斂(convergent), 如果唔係，我地就叫佢發散(divergent)
咁喺定義入面呢個L都係好重要嘅，所以我地都要畀個名佢，叫做{an}嘅極限(limit)通常我地會咁寫:


喺divergent嘅數列之中，有一種比較特別嘅數列，啲數字會逐漸變得越嚟越大，例子有:
1, 2, 3, 4, 5, 6, ...
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...
1, 4, 2, 8, 4, 16, 8, 32, 16, 64, ... (乘4, 除2, 無限loop)

我地就叫呢種數列diverges to positive infinity，用鬼畫符寫就係:

呢個就當係翻譯練習啦

同樣，我地可以定義咩為之 diverges to negative infinity
鬼畫符寫作練習

講住咁多先
下集我地終於開始見到有定義同翻譯蒟蒻以外嘅野

呢一part可唔可以再講講，主要係唔明符號，同埋點解佢solve到果兩個問題

見到都驚

留名學野

呢個就係completeness axiom存在嘅意義，因為喺有理數入面，我地唔會搵到一個最小上限，而呢個axiom就指出我地係實數入面一定搵得到
所以呢個係實數與生俱來嘅特性

呢段睇唔明

喺S = {細過(開方2)嘅有理數}入面唔會搵到最小上限:
設a為S的上限，即有兩種可能性：
- a < sqrt(2)
- a > sqrt(2)

若a < sqrt(2)
- 搵一個大過0同時細過 sqrt(2)-a 嘅有理數，設為x
- then a+x < sqrt(2)
- 因a+x係有理數，違反a為上限的假設

若a > sqrt (2)
- 搵一個大過0同時細過 a-sqrt(2)嘅有理數，設為y
- then a-y > sqrt(2)
- 因a-y係有理數而且係S的上限，違反a為最小上限的假設

都係唔明

呢個就係completeness axiom存在嘅意義，因為喺有理數入面，我地唔會搵到一個最小上限，而呢個axiom就指出我地係實數入面一定搵得到
所以呢個係實數與生俱來嘅特性

呢段睇唔明

喺S = {細過(開方2)嘅有理數}入面唔會搵到最小上限:
設a為S的上限，即有兩種可能性：
- a < sqrt(2)
- a > sqrt(2)

若a < sqrt(2)
- 搵一個大過0同時細過 sqrt(2)-a 嘅有理數，設為x
- then a+x < sqrt(2)
- 因a+x係有理數，違反a為上限的假設

若a > sqrt (2)
- 搵一個大過0同時細過 a-sqrt(2)嘅有理數，設為y
- then a-y > sqrt(2)
- 因a-y係有理數而且係S的上限，違反a為最小上限的假設

都係唔明

講下係唔明邊句邊樣先得㗎
咁樣好難幫你

今次開波之前，講埋boundedness先
一條sequence入面嘅數係有上限，我地就叫佢bounded above
如果sequence入面嘅數係有下限，我地就叫佢bounded below
如果佢同時有上限同下限，我地就叫佢bounded
數學其實都真係幾多廢話
不過都係要寫出嚟，等大家有法可依，唔使口同鼻拗

之後我地就可以講第一條定理喇

Theorem: 一條convergent sequence係bounded

點解?

我地首先搵條convergent sequence出嚟，姑且叫佢做{an}
咁因為佢係convergent，所以我地可以求其揀個ϵ，咁convergent嘅定義就話畀我地知第N個打後嘅term都喺L-ϵ同L+ϵ之間

然後我地就要照顧吓頭個N-1個term
咁我地發現
M = max{ a1, a2, ... , an-1, L+ϵ}
呢個數係大過曬(≥, 用不少於好似好怪) 條sequence入面所有嘅數
所以呢條sequence係bounded above
同樣，
m = min{ a1, a2, ... , an-1, L-ϵ}
係細過曬(≤)條sequence入面所有嘅數
所以呢條sequence係bounded below

於是條sequence就係bounded喇

但係要記住掉轉行係唔work嘅
1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, ...
就係一個bounded但係唔converge嘅sequence

講完第一個proof，同場加映有convergent sequence嘅性質:

基本上條sequence嘅limit就同普通數字一樣，可以加減乘除（只要唔好除零就得）

如果你係認真諗住要讀analysis而唔係睇過就算嘅話，你可以試吓prove
加減係比較易，乘除就要多少少技巧


依家我就講吓一啲搵limit嘅工具

我地有偉大嘅三文治定理(Sandwich Theorem):
假設我地有三條sequence {an}, {bn}, {cn}，
而且an≤bn≤cn永遠都啱
如果{an}同{cn}都converge去L嘅話，咁{bn}都會converge去L

同鬼畫符寫出嚟就係咁

係咪易睇好多呢
你終於明點解我地咁中意寫鬼畫符喇

咁講得係定理，就梗係要證明啦
咁要證明一條sequence係convergent，我地就要證明對於求其一個ϵ，我地都可以搵到相應嘅N，令到N打後嘅term都係喺L-ϵ同L+ϵ之間

所以我地依家要做嘅就係求其搵一個ϵ,

因為我地知道{an}同{cn}都converge去L，咁我地就可以搵到Na同Nc，令到
{an}第Na個term打後都係喺L-ϵ同L+ϵ之間,
同埋{cn}第Nc個term打後都係喺L-ϵ同L+ϵ之間
依家我地就考慮N = max{Na,Nc}
咁{an}同{cn}第N個term打後都係喺L-ϵ同L+ϵ之間
所以{bn}第N個term打後都係喺L-ϵ同L+ϵ之間，因為bn畀an同cn夾住咗sandwich motherfucker
所以呢個N就係我地想搵嘅N喇

收尾整個例子嚟睇吓先:

其實使唔使我翻譯

呢個就係completeness axiom存在嘅意義，因為喺有理數入面，我地唔會搵到一個最小上限，而呢個axiom就指出我地係實數入面一定搵得到
所以呢個係實數與生俱來嘅特性

呢段睇唔明

喺S = {細過(開方2)嘅有理數}入面唔會搵到最小上限:
設a為S的上限，即有兩種可能性：
- a < sqrt(2)
- a > sqrt(2)

若a < sqrt(2)
- 搵一個大過0同時細過 sqrt(2)-a 嘅有理數，設為x
- then a+x < sqrt(2)
- 因a+x係有理數，違反a為上限的假設

若a > sqrt (2)
- 搵一個大過0同時細過 a-sqrt(2)嘅有理數，設為y
- then a-y > sqrt(2)
- 因a-y係有理數而且係S的上限，違反a為最小上限的假設

都係唔明

講下係唔明邊句邊樣先得㗎
咁樣好難幫你

紅字開始已經唔明,a係有理數?下面d 句follow-up都唔明

數撚留名

早半年有依個post就好
岩岩個sem讀analysis同metric space
好難但勁有趣 可惜係最後一科數

呢個就係completeness axiom存在嘅意義，因為喺有理數入面，我地唔會搵到一個最小上限，而呢個axiom就指出我地係實數入面一定搵得到
所以呢個係實數與生俱來嘅特性

呢段睇唔明

喺S = {細過(開方2)嘅有理數}入面唔會搵到最小上限:
設a為S的上限，即有兩種可能性：
- a < sqrt(2)
- a > sqrt(2)

若a < sqrt(2)
- 搵一個大過0同時細過 sqrt(2)-a 嘅有理數，設為x
- then a+x < sqrt(2)
- 因a+x係有理數，違反a為上限的假設

若a > sqrt (2)
- 搵一個大過0同時細過 a-sqrt(2)嘅有理數，設為y
- then a-y > sqrt(2)
- 因a-y係有理數而且係S的上限，違反a為最小上限的假設

都係唔明

講下係唔明邊句邊樣先得㗎
咁樣好難幫你

紅字開始已經唔明,a係有理數?下面d 句follow-up都唔明

我講漏咗
a係有理數
由於sqrt(2) irrational，所以有紅字嗰兩句

於是我地可以歸納到個條件就係
.......
講住咁多先
下集我地終於開始見到有定義同翻譯蒟蒻以外嘅野

呢一part可唔可以再講講，主要係唔明符號，同埋點解佢solve到果兩個問題

唔係有翻譯蒟蒻咩

For all 嘅意思係我地求其搵一個ϵ都要work
想幾近就幾近即係話我地求其比個距離，塞入去ϵ度
咁我地就會搵到一個N,
而第N個term打後嘅數都好近(因為an同L嘅距離細過ϵ)
但係我地未必一定知道N係乜野，所以我地只可以話佢遲早會變得好近

於是我地可以歸納到個條件就係
.......
講住咁多先
下集我地終於開始見到有定義同翻譯蒟蒻以外嘅野

呢一part可唔可以再講講，主要係唔明符號，同埋點解佢solve到果兩個問題

唔係有翻譯蒟蒻咩

For all 嘅意思係我地求其搵一個ϵ都要work
想幾近就幾近即係話我地求其比個距離，塞入去ϵ度
咁我地就會搵到一個N,
而第N個term打後嘅數都好近(因為an同L嘅距離細過ϵ)
但係我地未必一定知道N係乜野，所以我地只可以話佢遲早會變得好近

我知咩事啦
我係電話睇的，ϵ 同belong to果個symbol好似樣，睇到好confuse

今次開波之前，講埋boundedness先
...
收尾整個例子嚟睇吓先:

其實使唔使我翻譯

其實for all except finitely many就已經OK

BB班唔使咁嘅
影響唔大嘅話講簡單少少好啲

於是我地可以歸納到個條件就係
.......
講住咁多先
下集我地終於開始見到有定義同翻譯蒟蒻以外嘅野

呢一part可唔可以再講講，主要係唔明符號，同埋點解佢solve到果兩個問題

唔係有翻譯蒟蒻咩

For all 嘅意思係我地求其搵一個ϵ都要work
想幾近就幾近即係話我地求其比個距離，塞入去ϵ度
咁我地就會搵到一個N,
而第N個term打後嘅數都好近(因為an同L嘅距離細過ϵ)
但係我地未必一定知道N係乜野，所以我地只可以話佢遲早會變得好近

我知咩事啦
我係電話睇的，ϵ 同belong to果個symbol好似樣，睇到好confuse

historically其實源自係同一個符號，好似係

數學分析呢門學問唔做返啲exercise係好難真正明白。

咁呢樣我都幫唔到手
唔通成份exercise掉上嚟咩

有lecture pdf share仲好

btw 想聽故仔多啲

睇bartle未囉

數學分析呢門學問唔做返啲exercise係好難真正明白。

咁呢樣我都幫唔到手
唔通成份exercise掉上嚟咩

有lecture pdf share仲好

btw 想聽故仔多啲

睇bartle未囉

BB班 既標準讀物梗係baby rudin 啦

數學分析呢門學問唔做返啲exercise係好難真正明白。

咁呢樣我都幫唔到手
唔通成份exercise掉上嚟咩

有lecture pdf share仲好

btw 想聽故仔多啲

睇bartle未囉

BB班 既標準讀物梗係baby rudin 啦

想讀死me咩