[腦力大挑戰] Mathematical analysis BB班
Edelschwarz
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留名
請追post #374
Prof mok 又些報 
比起搵function嘅斜率，搵一舊任意形狀嘅面積(或任意物體嘅體積)係一個更遠古嘅問題
有幾難啫
數格仔咪得囉
小學都有教啦
唯一嘅問題係呢個方法唔係好準
點算呢?
將格仔縮細啲
咪估得準啲囉
咁要幾細先得?
有咁細得咁細
不過數格仔比較難操作，所以我地考慮吓呢個特別情況先
就係搵一條function下面嘅面積
咁佢左右下都係直線，應該比較易搞
咁我地就可以用啲長方形去估算面積嘅上限:
首先我地要定好長方形嘅寬度
我地可以將佢寫成一個finite set，叫做一個partition of interval
圖入面嗰個partition就係
咁為方便起見，我地會將呢個set入面嘅數由細到大排
訂好咗寬度之後，我地可以度高
咁個長方形高度嘅下限就係條function喺個interval中間既下限，即係
同理，長方形高度上限係
咁面積嘅上下限就會係
個partition越精密
咁面積就會估得越準
下限會越嚟越大
上限會越嚟越細
而且上限一定大過下限
所以上限係bounded below
下限係bounded above
所以我地可以define
我地叫住最左同最右嗰點做a同b先
如果佢地兩個係相等
咁我地就可以得到f(x)下面嘅精確面積(點解?)
咁我地就叫佢做(Riemann) integrable:
咁一條function幾時先係integrable呢?
呢個問題比較複雜(i.e. 我唔想喺度prove)
但係我地有一啲criteria可以保證到條function係integrable:
喺prove佢之前，我地需要一種更強嘅continuity:
同continuity個定義好似冇乜分別
咁uniformly continuous同continuous嘅分別呢
就在於δ只可以跟住ε轉，而唔可以跟住x而轉
即係話同一個δ要適用於所有x
大家可以諗下一個continuous但唔係uniformly continuous嘅example
跟住落嚟就有一條theorem:
Proof: 有人想知再講
然後我地就可以用uniform continuity去推導integrability:
對於任意ε>0, 我地都搵到 δ>0, 使到只要|x−y|<δ，我地都有
咁我地就可以揀一個partition P，令佢每一格嘅寬度都細過δ
咁U(f,P)-L(f,P)<ε (點解?)
由此可見U(f)=L(f)
搞掂
除咗continuity，我地仲有另一個criterion:
Proof: Exercise
根據我地嘅定義，如果 f 係integrable，咁就有
由呢度我地可以延伸integration嘅definition，唔再限制a<b:
終章: Fundamental Theorem of Calculus
有幾難啫
數格仔咪得囉
小學都有教啦
唯一嘅問題係呢個方法唔係好準
點算呢?
將格仔縮細啲
咪估得準啲囉
咁要幾細先得?
有咁細得咁細
不過數格仔比較難操作，所以我地考慮吓呢個特別情況先
就係搵一條function下面嘅面積
咁佢左右下都係直線，應該比較易搞
咁我地就可以用啲長方形去估算面積嘅上限:
首先我地要定好長方形嘅寬度
我地可以將佢寫成一個finite set，叫做一個partition of interval
圖入面嗰個partition就係
咁為方便起見，我地會將呢個set入面嘅數由細到大排
訂好咗寬度之後，我地可以度高
咁個長方形高度嘅下限就係條function喺個interval中間既下限，即係
同理，長方形高度上限係
咁面積嘅上下限就會係
個partition越精密
咁面積就會估得越準
下限會越嚟越大
上限會越嚟越細
而且上限一定大過下限
所以上限係bounded below
下限係bounded above
所以我地可以define
我地叫住最左同最右嗰點做a同b先
如果佢地兩個係相等
咁我地就可以得到f(x)下面嘅精確面積(點解?)
咁我地就叫佢做(Riemann) integrable:
咁一條function幾時先係integrable呢?
呢個問題比較複雜(i.e. 我唔想喺度prove)
但係我地有一啲criteria可以保證到條function係integrable:
喺prove佢之前，我地需要一種更強嘅continuity:
同continuity個定義好似冇乜分別
咁uniformly continuous同continuous嘅分別呢
就在於δ只可以跟住ε轉，而唔可以跟住x而轉
即係話同一個δ要適用於所有x
大家可以諗下一個continuous但唔係uniformly continuous嘅example
跟住落嚟就有一條theorem:
Proof: 有人想知再講
然後我地就可以用uniform continuity去推導integrability:
對於任意ε>0, 我地都搵到 δ>0, 使到只要|x−y|<δ，我地都有
咁我地就可以揀一個partition P，令佢每一格嘅寬度都細過δ
咁U(f,P)-L(f,P)<ε (點解?)
由此可見U(f)=L(f)
搞掂
除咗continuity，我地仲有另一個criterion:
Proof: Exercise
根據我地嘅定義，如果 f 係integrable，咁就有
由呢度我地可以延伸integration嘅definition，唔再限制a<b:
終章: Fundamental Theorem of Calculus
又上報
lm
The following is left for the readers
點呀你呀
Trivial 
It is easy to see that
樓主加油
Ｓｏｒｒｙ，計左咁多年數，但始終我唔係數撚，所以都係要問條可能好低能既問題，唔好笑我。
＋...（無限大）既概念，點解可以可忽略「最後個個數值」？
兩者得出唔同既結果，係咪代表兩者＋到最尾既數值，係唔同？
係咪代表我地已知左最後一個數既數值？
咁係咪同無限呢個self-contradictory？
你要加無限多個數
就唔會有「最後嗰個數值」
因為你唔會加完佢地嘅一日
所以我地要用limit去定義條series嘅sum
睇吓佢會唔會加到去某個位就開始慢落嚟唔多郁
然後估吓當我地加到世界末日嗰陣(但係都仲未加完)個數會係幾多
我有冇理解錯，所以limit 無限大，係將「加到無限」變左做「加到一個有限大既數」？
只不過呢啲數學工具話畀我地知只有一個數係啱(如果個sum converge)
咁１＋２＋３＋４＋。。。=－１／１２，唔係diverge咩？，點解佢都converge？
係因為f(x)=sum 1/n，prove左係converge，所以就可以sub -1入去?
呢套數學工具係咪contradict緊我地邏輯？Assumption上有冇over simplified既問題？
隨左玩弄數字外，又有冇實際既意義？
因為係string theory之類都成日見呢樣野，如果呢套數學工具係over simplified，好似好影響我地對世界既描述。
定係其實未講到
-1/12 係 zeta function ge analytic continuation f, 再計 f(1)
-1/12 係 zeta function ge analytic continuation f, 再計 f(1)
-1
-1/12 係 zeta function ge analytic continuation f, 再計 f(-1)
咁１＋２＋３＋４＋。。。=－１／１２，唔係diverge咩？，點解佢都converge？
係因為zeta function，prove左係converge，所以就可以sub -1入去?
呢套數學工具係咪contradict緊我地邏輯？Assumption上有冇over simplified既問題？
隨左玩弄數字外，又有冇實際既意義？
因為係string theory之類都成日見呢樣野，如果呢套數學工具係over simplified，好似好影響我地對世界既描述。
定係其實未講到
係咪已經解左
睇wiki話，This gives a way to assign a finite result to the divergent series 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯,
我有冇理解錯，所以limit 無限大，係將「加到無限」變左做「加到一個有限大既數」？
我姐係冇理解錯？
infinite series 其實係一個 sequence of partial sum, 我地話 infinite series = L 係指個sequence of partial sum 條尾同L好近
最簡單既講法係 你唔好將佢當成你小學學嗰種加法，根本唔係同一樣野