[腦力大挑戰] Mathematical analysis BB班

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會考都無C 2017-12-17 23:05:18

冇人講個post...

因為暫時個深度未comment到住
期待你寫入戲肉

門外漢已經止步

Edelschwarz 2017-12-18 00:40:10

號外
數學高能注意
i.e. 睇唔明唔使咁介懷

相信好多人都會喺唔知邊度見過呢條唔知做乜鳩嘅式

雖然好多都係content farm又或者係偽科學

以我地之前學咗嘅野，呢條series肯定係divergent嘅
咁又點會有limit呢?

其實你冇錯，因為呢個-1/12的確唔係我地之前所講嘅limit嚟

咁呢個故事就要由Euler講起

就係呢條友

佢係第一個研究呢條function嘅人

而呢條function就叫做Riemann zeta function (RZF)
(因為Euler實在創造咗太多function喇，個個都用佢個名只會徒添混亂)

不過佢喺呢條function上面嘅收獲唔算好多，例如佢只係證咗

其實都已經好勁

而Riemann就係將呢條function發揚光大嘅人

佢發現咗呢條function喺數論入面嘅潛力
(例如prime number theorem, Chebotarev's density theorem都係用RZF去證，不過呢樣唔係我要講嘅野)

佢發現呢條function唔止喺大過1嘅實數上係well-defined，而係喺Re(s)>1嘅複數上係well-defined，而且佢係一條holomorphic function (複數版嘅differentiable，比起實數version再要勁啲)

喺complex analysis入面，我地有一個定理，叫做identity principle
就係話如果兩條holomorphic function喺一個open subset (例如Re(s)>1 呢個區間)係一樣嘅話，佢地就係一樣

於是Riemann就走咗去搵一條喺Re(s)>1時同RZF 一樣嘅holomorphic function
又畀佢搵得到嗰吓勁

佢係點搵呢條function呢?

咁佢就發現咗當Re(s)>1時

而右邊嗰舊野我地將佢個domain推到去成個complex plane

點做呢?

我地首先將佢拆開兩part

咁M∞ 喺所有地方都係holomorphic，所以唔使搞佢住
咁我地依家就睇吓M0
首先我地要做一個power series expansion (即係general少少嘅taylor series)

然後塞返入去M0度:

於是原先嗰舊野喺Re(s)>-N都係well-defined, 除咗一啲窿窿(因為divisor變咗0, 所以喺呢啲點條function會爆炸) 1, 0 , -1, -2, ...
咁我地將N→∞，呢舊野就係喺成個complex plane上面well-defined(都係除咗啲pole)

而咁啱Γ(s)喺0, -1, -2, ... 都會爆炸
而且大家嘅pole都係simple pole (即係1/(s-z)咁爆，唔係1/(s-z)², 1/(s-z)³ 咁爆)
所以佢地相除時啲pole就會互相抵消
所以RZF其實只係得一個pole喺s=1, 其他pole都死曬

同時，兩個pole相除後得到嘅數係兩個residue相除所得(residue 係1/(s-z)嘅coefficient)
所以我地就得到

依家我地介紹吓Bernoulli number Bn

其實即係t/(e^t+1)嘅taylor series expansion coefficients
上wiki搵就摷到個list:
https://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli_number
咁我地就可以根據下面嘅relation將ζ(-n)簡化:

代返n=1入去，我地就得到

望返RZF嘅definition

我地就可以屈佢話

完~~~

Edelschwarz 2017-12-18 00:40:59

冇人講個post...

因為暫時個深度未comment到住
期待你寫入戲肉

要戲肉呀嘛

止於至蝕 2017-12-18 00:52:18

號外
數學高能注意
i.e. 睇唔明唔使咁介懷

相信好多人都會喺唔知邊度見過呢條唔知做乜鳩嘅式

雖然好多都係content farm又或者係偽科學

以我地之前學咗嘅野，呢條series肯定係divergent嘅
咁又點會有limit呢?

其實你冇錯，因為呢個-1/12的確唔係我地之前所講嘅limit嚟

咁呢個故事就要由Euler講起
就係呢條友

佢係第一個研究呢條function嘅人

而呢條function就叫做Riemann zeta function (RZF)
(因為Euler實在創造咗太多function喇，個個都用佢個名只會徒添混亂)

不過佢喺呢條function上面嘅收獲唔算好多，例如佢只係證咗

其實都已經好勁

而Riemann就係將呢條function發揚光大嘅人

佢發現咗呢條function喺數論入面嘅潛力
(例如prime number theorem, Chebotarev's density theorem都係用RZF去證，不過呢樣唔係我要講嘅野)

佢發現呢條function唔止喺大過1嘅實數上係well-defined，而係喺Re(s)>1嘅複數上係well-defined，而且佢係一條holomorphic function (複數版嘅differentiable，比起實數version再要勁啲)

喺complex analysis入面，我地有一個定理，叫做identity principle
就係話如果兩條holomorphic function喺一個open subset (例如Re(s)>1 呢個區間)係一樣嘅話，佢地就係一樣

於是Riemann就走咗去搵一條喺Re(s)>1時同RZF 一樣嘅holomorphic function
又畀佢搵得到嗰吓勁

佢係點搵呢條function呢?
咁佢就發現咗當Re(s)>1時

而右邊嗰舊野我地將佢個domain推到去成個complex plane

點做呢?
我地首先將佢拆開兩part

咁M∞ 喺所有地方都係holomorphic，所以唔使搞佢住
咁我地依家就睇吓M0
首先我地要做一個power series expansion (即係general少少嘅taylor series)

然後塞返入去M0度:

於是原先嗰舊野喺Re(s)>-N都係well-defined, 除咗一啲窿窿(因為divisor變咗0, 所以喺呢啲點條function會爆炸) 1, 0 , -1, -2, ...
咁我地將N→∞，呢舊野就係喺成個complex plane上面well-defined(都係除咗啲pole)

而咁啱Γ(s)喺0, -1, -2, ... 都會爆炸
而且大家嘅pole都係simple pole (即係1/(s-z)咁爆，唔係1/(s-z)², 1/(s-z)³ 咁爆)
所以佢地相除時啲pole就會互相抵消
所以RZF其實只係得一個pole喺s=1, 其他pole都死曬

同時，兩個pole相除後得到嘅數係兩個residue相除所得(residue 係1/(s-z)嘅coefficient)
所以我地就得到

依家我地介紹吓Bernoulli number Bn

其實即係t/(e^t+1)嘅taylor series expansion coefficients
上wiki搵就摷到個list:
https://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli_number
咁我地就可以根據下面嘅relation將ζ(-n)簡化:

代返n=1入去，我地就得到

望返RZF嘅definition
我地就可以屈佢話

完~~~

上年睇印度套數造傳奇
佢兩師徒就係早期發現呢件事既痴線仔

會考都無C 2017-12-18 01:04:57

開始超出咗認知範圍

Edelschwarz 2017-12-18 01:10:56

上年睇印度套數造傳奇
佢兩師徒就係早期發現呢件事既痴線仔

呢個discovery好似唔係好關佢事

佢主要嘅貢獻應該係Hardy-Ramanujan asymptotic formula
同埋mock theta functions?

不過呢啲無可能擺入套戲度

唔好金剛棒

Edelschwarz 2017-12-18 01:12:10

開始超出咗認知範圍

超出認知範圍係未見過定睇唔明

Edelschwarz 2017-12-18 01:13:53

下集會唔會有metric space

應該要開到 (2) 先有機會

我估你conditional convergence都未必寫到個post就沉底

未沉

會考都無C 2017-12-18 01:17:16

開始超出咗認知範圍

超出認知範圍係未見過定睇唔明

Both

狐狸叔叔 2017-12-18 01:20:07

失驚無神難度暴增
btw，呢個結論係物理上有另一種解釋方法，好似唔係用zeta function

Edelschwarz 2017-12-18 01:27:19

失驚無神難度暴增
btw，呢個結論係物理上有另一種解釋方法，好似唔係用zeta function

但係我諗zeta function應該係最general

其他古怪method多數都係works for -1 only

周子瑜男友 2017-12-18 01:42:50

留名

真心有興趣
但唔知自己有冇能力理解到

Edelschwarz 2017-12-18 01:43:50

留名

真心有興趣
但唔知自己有冇能力理解到

有唔明就問題
呢度應該好多巴打肯答

Edelschwarz 2017-12-18 01:44:08

留名

真心有興趣
但唔知自己有冇能力理解到

有唔明就問啦
呢度應該好多巴打肯答

劉曉波 2017-12-18 01:46:26

留名

真心有興趣
但唔知自己有冇能力理解到

有唔明就問啦
呢度應該好多巴打肯答

其實你係咪中大某lecturer?

Elias 2017-12-18 01:52:34

上年睇印度套數造傳奇
佢兩師徒就係早期發現呢件事既痴線仔

呢個discovery好似唔係好關佢事
佢主要嘅貢獻應該係Hardy-Ramanujan asymptotic formula
同埋mock theta functions?

不過呢啲無可能擺入套戲度

唔好金剛棒

我淨係識 hardy-littlewood

Elias 2017-12-18 01:53:56

上年睇印度套數造傳奇
佢兩師徒就係早期發現呢件事既痴線仔

呢個discovery好似唔係好關佢事
佢主要嘅貢獻應該係Hardy-Ramanujan asymptotic formula
同埋mock theta functions?

不過呢啲無可能擺入套戲度

唔好金剛棒

我淨係識 hardy-littlewood