[腦力大挑戰] Mathematical analysis BB班

Edelschwarz · 2017-12-01T23:32:01+08:00

講起mathematical analysis，唔少讀數嘅學生都聞風喪膽，究竟佢有啲咩咁恐怖咁呢個post我會講吓呢個範疇嘅基本概念(即係所有mathematical analysis course都會有嘅野)，畀大家了解吓究竟呢班癡線佬做緊乜同埋等中學雞唔好誤入岐途雖然呢度係講中文，但係為咗方便大家google(同埋我自己打)，啲數學名詞都係會用返英文(如果我知隻字中文係咩我會打一次出嚟 )。英文唔好唔緊要，反正數學入面啲字嘅定義同出面嘅世界唔同(唔通我個標題打「數學分析」你就會知我講乜咩我估我大概會講吓下面呢啲比較有趣嘅問題: 點解1+ 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...會加到無限大，但 1+ 1/2² + 1/3² + 1/4² + ...就唔會 (睇吓反應如何)可能會講吓微積分嘅概念呢啲不過我地首先要打好基本功不如就由real number(實數)開始講起啦咁 Real number 係咁嘅樣嘅喺呢條線上面就有好多好多數字嘅(比無限仲要多，遲啲再講)，有整數1, 2, 3, -123456789, ..., 有分數 1/2, 2/3, ..., (我地叫呢啲做有理數(rational number)), 仲有啲無得寫成兩個整數相除嘅無理數(irrational number)，就好似π, e, log 2 等等。咁我地發現實數係滿足一定條件嘅(無得證, 換言之呢啲條件係實數嘅定義): 1. 滿足我地平時加減乘除嘅規則(例如唔畀除零) - Field axiom 2. 兩個正數相加係正數, 兩個正數相乘係正數, 同埋(trichotomy law)求其畀兩個數a,b你, 咁下面三句說話一定有一句係啱: a>b, a=b, a<b (聽落係咪好廢呢 ) 呢度夾埋就叫做 Order axiom 3. 喺一堆有上限嘅數(我地叫呢一堆數做一個數集(set)，通常用S去代表)入面，存在最小上限(supremum) - Completeness Axiom 你可能會問，究竟最尾嗰條axiom係噏乜鳩要好清楚咁講，就梗係要畀個定義嚟跟吓先啦咁我地首先要定義咩為之上限:(upper bound) 大過曬啲數咪係囉如果一個數a係大過個set入面所有嘅數, 咁a就係一個upper bound 用鬼畫符就係咁寫嘅: 因為數學家(以及普遍嘅數學學生)係好懶嘅，佢地成日都會將啲字用符號代表其實佢地想講嘅野係 "a is an upper bound of a set S if a>s (for all) s (in) S." 我估咁樣會易明啲掛...? 我地定義完上限之後，就可以定義S嘅最小上限(叫做sup S)喇其實個定義好on9, 就係: 1. a係S嘅一個上限 2. 如果b係S嘅另一個上限，咁b≥a 真係好廢講咗咁多廢話，有冇啲例子睇吓呢? sup{1,2,3}=3 （我諗呢個唔使解掛...) {1,2,3,4,5,...} 冇supremum（因為佢冇上限）複雜少少嘅有 sup{0.9, 0.99, 0.999, 0.9999,...}=1 我地見到1係大過曬入面嘅數，所以1係一個upper bound 但係任何一個細過1嘅數x，我地都可以喺個set入面搵到個數係大過x (點解嘅?點解嘅?) 所以1真係最細嘅upper bound 講咗咁耐，究竟completeness axiom係有咩用嘅? 我地就諗吓下面呢個例子: 又係講解鬼畫符嘅時間我地會用一個大括號去表示入面裝住嘅野係一個set，而入面嘅結構係咁嘅 { 一堆候選物件(可以係數字，可以係其他野，甚至可以係另一個set) ｜需要滿足嘅條件} 而我地喺入面見到一個好粗嘅Q係代表住有理數集(set of rational numbers)(即係所有分數) 所以呢行鬼畫符要講嘅野係: "S is a set of rational numbers x satisfying x²<2" 就我地喺中學學過嘅野，我地知道呢個就係completeness axiom存在嘅意義，因為喺有理數入面，我地唔會搵到一個最小上限，而呢個axiom就指出我地係實數入面一定搵得到所以呢個係實數與生俱來嘅特性講咗咁耐定義，到底有咩用啫我地下次就會講吓數列(sequences) 一個數列，其實就係一堆排好隊嘅數(要注意嘅係條隊要無限長) 例如有好出名嘅Fibonacci sequence: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ... 可以係無限個零: 0, 0, 0, 0, 0, 0, ... 甚至做健身操會嗌嘅數字: 1, 2, 3, 4, 2, 2, 3, 4, 3, 2, 3, 4, 4, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 2, 2, 3, 4, ... 我地下次就會睇吓呢啲數列嘅特性，今次打住咁多先