[腦力大挑戰] Mathematical analysis BB班

I mean nonlinear

Oh last not little

NT嘅世紀難題有如天上繁星

手指都唔識數

都唔知你係度up乜鳩

不過functional 嗰本唔係特別好用

好多時就算係math底人都會俾intuition fake到, 嗰本係幾好嘅analysis reference book

師兄喺香港做number theory?

唔知咪學

依家唔喺香港

大概邊個位唔明
歡迎隨便問

Thanks but no thanks

Intermission: 奇怪function例子(假設domain為[0,1]):

1. Dirichlet function


sor9唔識畫

由於任意兩個唔同嘅實數中間都有rational number同埋irrational number
所以無論你個partition幾細，條function喺個區間入面嘅supremum都係1, infimum 都係0
所以U(f) = 1, L(f) = 0
於是呢條function就係not integrable喇

註: 呢條function係Lebesgue integrable

2. Popcorn function

佢係咁嘅樣嘅


呢條function係discontinuous on Q, continuous on R\Q

Exercise: 對於任意ϵ>0 諗一個partition X令到U(f, X)<ϵ

於是f係integrable嘅

或者你可以用integrability criterion秒殺:

冇人理

Fundamental Theorem of Calculus

依家我地講吓differentiation同integration嘅關係
其實中學有教，不過應該冇講點證

我地學識咗點做differentiation，但係我地有冇一個相反嘅operation，將derivative變返做原本嘅function呢?

當我地有一條integrable function f: [a,b] → R, 我地可以定義一條新嘅function F: [a,b] → R

即係條function喺由 a 至 x 之下嘅面積

咁呢個F有咩特別呢?
我地首先發現佢係continuous嘅

點解?

根據我地Riemann integrability嘅定義，f 係bounded嘅 (唔係嘅話我地唔會有supremum同infimum)
所以我地可以假設 |f(x)|≤M:

對於任意 ϵ>0, 我地可以設 δ = ϵ/M
考慮吓下面幅圖:

當c≤x≤c+δ時, F(x)同F(c)嘅差就會細過淺粉紅色嗰舊長方形嘅面積(by definition of F)
但嗰舊長方形嘅面積正好係 δM=ϵ

同理，我地可以做埋c-δ≤x≤c嘅case

搞掂

咁我地嘅目的係想"還原"differentiation，咁呢個F係唔係一定differentiable呢?

唔係

我地發現，如果 f 唔係continuous，咁 F 就可能會"斷開"，好似咁:

咁喺斷開嗰點，F 就唔係differentiable

如果 f 係continuous呢?
咁我地就fatfat喇



又係證明嘅時間
我地今次可以入佢中路，直接證明呢條式


即係對於任意 ϵ，我地都要搵一個啱用嘅 δ ，使到


由於 f 係continuous，咁對於ϵ'>0, 我地都有一個 δ'>0, 使到


依家我地設ϵ' = ϵ
先考慮x>c嘅情況:

咁F(x)-F(c)嘅值就介乎呢兩個長方形仔嘅面積之間，即係話

然後就得到想要嘅結果:


而x<c嘅情況一樣

搞掂

為咗方便起見，我地又整個新名:

即係話如果differentiate咗 F 會得到 f 嘅話, 我地就叫 F 做 f 嘅 antiderivative

要記住如果 F 係一個 antiderivative，咁 F+C都係一個 antiderivative for any constant C

依家我地就證呢條做definite integral一定要用嘅formula:


點證
我地首先考慮一個partition P:

然後將F(b)-F(a)拆開做 n 個term:


咁MVT就話畀我地知喺 tk-1 同 tk 之間有個 xk 滿足呢條方程:


咁因為 f 係bounded, 每一格入面我地都有一個supremum同一個infimum，用 Mk 同 mk 表示:


跟住我地就估算到每一個term嘅值:


加曬佢就得到


但係我地無論揀邊個partition，我地都得到同一條不等式，所以我地有


因為我地假設咗 f 係integrable, 所以 U(f)=L(f), 即係話


搞掂

#717第一幅錯圖無人講

up錯相

純粹up下啦
會唔會demonstrate下點樣諗同solve某d proof
例如你而家講緊呢d 可以搵返早年pure maths paper 2去demonstrate下 點樣用某d theorem同typical result
始終concept野睇完可能都係唔太明

但唔好搵2010年打後 太淺同cut左好多野