[腦力大挑戰] Mathematical analysis BB班

undergrad pure math 基本上都已經係成100年前的野, 本身已經係舊

notations應該冇乜野嘅
undergrad會學嘅野嘅notation呢一百年都冇點大執過
除非你執本18xx年嘅書啫

engine狗表示唔想睇

其實我又唔係話想研究前沿
只係想學多少少數學，可能對我個科有D幫助姐
純粹覺得可能舊書可能會比較深未必睇得明姐
我而家都係睇緊Thomas Calculus/Stewart calculus呢類入門級嘅書

其實本書易唔易睇係睇佢嘅target audience啫

有啲書嘅用途係教人嘅
嗰啲書咪易睇

有啲書係以百科全書嘅角度寫
好似Lang本algebra咁
本身唔識咪會睇死人

雖然舊時冇咁多書
specialisation冇做得咁好
但分別其實唔算太大

Conway 本 complex d notation 好似好少係其化complex書見到

好多舊書都好易明

 同時代冇關係
1973都唔係好舊啫

咁...其實好少而家仲流通的classics係年之前出版ge

Forsyth

不過數學同science engine唔同, 一旦證明左個定理係永恒, 除非你郁到堆axioms
所以d書唔駛點追時代, 最多都係追個modern d的approach
(e.g. do carmo 好似成日比人話太classical)

Lm

呢個係set theory 的問題:
其中一個 equivalent 的定義係我地係兩個 set 之間有一個 bijection (1-1 correspondence) 就叫佢地的數量相同 (same cardinality)

係你個 case, [0, 1] 同 [0, 100] 都係 same cardinality , 因爲個 bijection 係 f(x) = 100x
(實際上係 [0, 1] 同 real line 有一樣咁多的數字)
但係 "number of rational numbers" 同 "number of real numbers" 又唔同

我地可以做一個思想實驗
睇吓如果我地用subset嚟定義cardinality會有咩問題

首先，最少嘅無限並唔存在
如果X係最細嘅infinite set，咁喺X入面是但掉走一個element，我地就得到一個細啲嘅infinite set，矛盾
雖然你可以唔信axiom of choice嘅，我都吹你唔漲

其次，呢個並唔係一個total order，即係唔係所有嘅set都可以比大小
你可以判斷到整數比雙數多
但係你答唔到雙數定質數多
同埋你連單數定雙數多都答唔到

最後，攞返你個example
如果0至100嘅數字多過0至1嘅數字
咁你就即係話f(x)=100x呢條function憑空變咗啲數字出嚟

所以subset呢個定義睇落去好似好直觀
但係越諗就越唔對路

返嚟單數多定雙數多呢個間題
我諗大家嘅直覺都會答一樣多
你可以諗吓你點解會得出呢個結論

大多數人嘅諗法(好似係)都係將啲數撮成一對
好似(1,2), (3,4), (5,6), ... 咁樣
咁其實呢個就正正係用bijection嘅定義

呢個定義違反直覺嘅位就係pairing up嘅方法唔一定係最直接嘅辦法
喺啲人比較整數定雙數多嘅時候
佢地可能會淨係將雙數同雙數pair up，留返啲單數喺度鳩fing
咁就會有整數比雙數多嘅錯覺

但係如果你要亂咁排嘅話，單數同雙數都可以亂咁排
例如(1,100), (3, 300), (5, 500)呢個排法會淨低好多雙數
咁唔通單數就比雙數多?

於是我地又歸納出一個原則
因為個pairing係我地自己憑空諗出嚟，唔係本身個infinite set有嘅野
所以兩個infinite set嘅cardinality係唔應該受到pairing up嘅方法影響

所以你最後見到嘅definition係there exists a bijection
即係你求其搵到個方法排好曬佢地就得
例如整數同雙數之間嘅bijection就係f(x) = 2x
咁我地就有(1,2), (2,4), (3,6), ... 呢個pairing

呢個定義嘅後果就係好鬼多野都係同一個cardinality
例如質數，正整數，整數，有理數個cardinality都係一樣
但係我地無辦法再細分而唔出現奇怪嘅情況
所以都係唯有接受