[腦力大挑戰] Mathematical analysis BB班

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2017-12-20 14:38:59
2+2=4-1=3
2017-12-20 14:41:44

冇人理

有呀
起碼講起恐怖keywords嗰時有人提起analysis

analysts 會比較怕 Let epsilon < 0.

Let delta < 0 and k, N \in \mathbb{N} s.t. k > N

好彩analytic number theory唔使care呢啲bullshit

measure theory 成日都要 epsilon / 2^n trick

家家有本難諗的經
睇algebra嗰邊啲Galois cohomology睇到嘔血
Galois group都有topology係咩玩法


Krill topology?
2017-12-20 14:42:09

有呀
起碼講起恐怖keywords嗰時有人提起analysis

analysts 會比較怕 Let epsilon < 0.

Let delta < 0 and k, N \in \mathbb{N} s.t. k > N

好彩analytic number theory唔使care呢啲bullshit

measure theory 成日都要 epsilon / 2^n trick

家家有本難諗的經
睇algebra嗰邊啲Galois cohomology睇到嘔血
Galois group都有topology係咩玩法


Krull topology?
2017-12-20 14:45:37

有呀
起碼講起恐怖keywords嗰時有人提起analysis

analysts 會比較怕 Let epsilon < 0.

Let delta < 0 and k, N \in \mathbb{N} s.t. k > N

好彩analytic number theory唔使care呢啲bullshit

measure theory 成日都要 epsilon / 2^n trick

家家有本難諗的經
睇algebra嗰邊啲Galois cohomology睇到嘔血
Galois group都有topology係咩玩法


Krull topology?

其實我地係度講埋呢D野會唔會嚇走哂D人
2017-12-20 14:46:22
lm
2017-12-20 17:41:17

Let delta < 0 and k, N \in \mathbb{N} s.t. k > N

好彩analytic number theory唔使care呢啲bullshit

measure theory 成日都要 epsilon / 2^n trick

家家有本難諗的經
睇algebra嗰邊啲Galois cohomology睇到嘔血
Galois group都有topology係咩玩法


Krull topology?

其實我地係度講埋呢D野會唔會嚇走哂D人

會呀
2017-12-20 17:44:05

Let delta < 0 and k, N \in \mathbb{N} s.t. k > N

好彩analytic number theory唔使care呢啲bullshit

measure theory 成日都要 epsilon / 2^n trick

家家有本難諗的經
睇algebra嗰邊啲Galois cohomology睇到嘔血
Galois group都有topology係咩玩法


Krull topology?

其實我地係度講埋呢D野會唔會嚇走哂D人

會呀

如果講下D奇怪counter example 會唔會高興D
2017-12-20 19:35:00

analysts 會比較怕 Let epsilon < 0.

Let delta < 0 and k, N \in \mathbb{N} s.t. k > N

好彩analytic number theory唔使care呢啲bullshit

measure theory 成日都要 epsilon / 2^n trick

家家有本難諗的經
睇algebra嗰邊啲Galois cohomology睇到嘔血
Galois group都有topology係咩玩法


Krull topology?

啱呀
#metoo
2017-12-20 23:41:23
pish
2017-12-21 03:34:57
pish

呢個時間先黎pish
2017-12-21 04:05:28
樓主好用心，但數學得三分既我都係出番去先
2017-12-21 04:06:06
樓主好用心，但數學得三分既我都係出番去先

唔好啦
2017-12-21 04:06:45
pish

呢個時間先黎pish

多人上嘅時候我未訓醒
2017-12-21 08:54:07
pish
2017-12-21 10:21:58
Just wake pish
2017-12-21 11:21:21
唔敢留言 因為太高深

唔高深㗎喇
2017-12-21 11:22:33
唔敢留言 因為太高深

唔高深㗎喇

毒撚大學math102 頭一個月既野黎
2017-12-21 11:26:14
唔敢留言 因為太高深

唔高深㗎喇

毒撚大學math102 頭一個月既野黎

呢D其實係standard Honors Calculus I 的野
2017-12-21 11:37:48
Pish
2017-12-21 11:43:56
唔敢留言 因為太高深

唔高深㗎喇

毒撚大學math102 頭一個月既野黎

呢D其實係standard Honors Calculus I 的野

呢啲嘢真係要慢慢睇
邊睇邊思考，先有可能睇得明

當年睇書都起碼要睇三次先入到腦
睇第一次淨係攞到最表層嗰浸，學唔到啲乜嘢
所以睇唔明就睇多次啦
2017-12-21 20:42:14
暫時仲follow到 等你繼續
2017-12-22 07:09:16
pish
2017-12-22 08:41:54
睇個4-d diagram搵representation睇到眼花
沖完涼出文
2017-12-22 11:21:54

圓圈入面畫一條線去圓圈出面，條線一定會掂到個圓圈
看似必然，但係又好似答唔出點解

上次我地定義咗continuity at a point
咁如果條function喺每一點都係continuous嘅話
我地就叫呢條function做continuous喇
係咪好理所當然先

跟住落嚟我地就睇吓一啲生活喺比較正常嘅domain嘅function, 例如 [a,b] 咁，我地叫呢啲做closed interval ( (a,b)就叫做open interval)

翻譯蒟蒻:
[a,b]代表滿足 a≤x≤b 嘅實數
如果我地想掉走個bound，我地就用"(" 代替 "["
例如 [a,b)代表滿足 a≤x<b嘅實數
如果我地要寫大過a嘅數，我地就寫(a,∞)
(我地用圓括號係因為冇∞呢個數)


神奇嘅事發生了:


如果條function喺個closed interval入面係continuous，咁佢就唔會爆炸

點證呢?
如果 f 係unbounded，咁對於任何M≥0, 我地都搵到 x 使到 |f(x)|>M
咁我地就可以整一條sequence {xn}出嚟，使到 |f(xn)|>n

咁Bolzano-Weierstrass Theorem(仲記得嗎)就話{xn}有一條convergent subsequence {xnk}
咁我地叫嗰條{xnk}嘅limit做L
依家我地睇吓f(L)

首先，因為 f 係continuous at L，所以 {f(xnk)} 一定converge去f(L)

但係根據我地{xnk}嘅定義，|f(xnk)|>k，所以
{f(xnk)}係divergent


「以子之矛陷子之楯，何如？」其人弗能應也。


如果我地得出嘅結果有矛盾，咁即係我地嘅假設( f 係unbounded)有錯
所以 f 唔可以係unbounded，換言之，f 係bounded
搞掂咗第一part

跟住我地就要prove條function真係掂到佢嘅bound

我地再一次用反證法
Reductio ad absurdum is one of a mathematician’s finest weapons. - G.H. Hardy


因為 f 係bounded，{f[a,b]}呢個set會有一個supremum t
{f[a,b]}係一個image set:


如果 f(x)=t 冇solution
咁我地考慮呢條function

咁 g 就會係一條continuous function
但由於t係{f[a,b]}嘅supremum
對於任意自然數n，我地都搵到 x 使到f(x)>t-1/n
即係話 g(x)>n
所以 g 係unbounded
但係我地啱啱先證明咗呢樣野唔可能發生

所以我地會搵到 x 使到 f(x)=t

同理，條function會掂到infinum (maximal lower bound)

搞掂

要注意嘅係就算你只係抹走咗個closed inverval入面其中一點(例如 [0,1] 變咗(0,1])，咁條theorem就唔work
一個反例係f(x)=1/x，佢喺(0,1]上面係continuous，但係佢唔係bounded

學數學一樣好重要嘅野
就係諗點解呢個證明對於呢個case係唔work
(我地好似從來冇喺個proof度講過"因為佢係一個closed interval，所以點點點"?)
咁點解呢?
當我地定義{xnk}嘅時候
佢個limit其實係0, 但係 0 唔喺個interval入面，所以你唔可以話因為 f is continuous at 0, 所以點點點

然後我地就講吓Intermediate Value Theorem (IVT) (因為好常用，所以我地畀個acronym佢)

佢要講嘅係如果條function一邊大過L，一邊細過L，咁f(x)=L一定會有答案

無錯，係可以多過一個嘅

如果f(a)<L<f(b) (另一個case證法一樣唔寫了)
我地整個新function: g(x):= f(x)-L
:=係define to be咁解

咁我地想證g(x)=0有答案

我地定義一個set

由於E係nonempty (a喺入面)同埋bounded (by b)，佢有個supremum，叫c

我地依家就證g(c)=0

如果唔係，咁g(c)<0或者g(c)>0

如果g(c) = -ϵ<0，咁因為 g 係continuous，我地會搵到個δ，使到g(c+δ)<-ϵ+ϵ=0
所以 c 唔係 E 嘅supremum，矛盾

同樣，如果g(c) = ϵ>0，咁我地會搵到個δ，使到g(c-δ)>ϵ-ϵ=0
所以c 唔係 E 嘅supremum (因為佢唔係"least" upper bound)，矛盾
所以g(c)一定要係0

搞掂

依家大家可以諗吓點解喺圓圈入面畫一條線去圓圈出面，條線一定會掂到個圓圈喇
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