Introduction to Stochastic Calculus & Application in Finance

如果你唔心急就等樓主教LA,

心急既: 一般讀finance會學將d野discount返去time 0就係個price, 但一般做pricing係無可能知個discount rate係咩 (知左咪姐係知個price lo仲洗做咩 )
risk neutral pricing 就係透過做一d transformation令到一個risky asset既discount rate係 risk-free rate

事實上, 咁講唔係好岩, 因為risk neutral pricing可行係因為根據girsanov's theorem, 一般牽涉geometric browian motion 既asset都可以transform 去第個世界做martingale, 而price at time 0 = V(0) = e^(r*0)*V(0)=E[e^(rt)*V(t)| F0] =e^(rt)*E[V(t)] - in risk neutral world

Bro 可唔可以解下Garch model

GARCH 全名係 Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity
其實就係用黎model stochastic volatility

依家black scholes我地仲係當mean同volatility係constant
不過現實volatility一定唔會係constant
所以σ自己背後其實都係比另一啲stochastic process govern住
而GARCH就係其中一種process
(其實仲有好多唔同嘅model, e.g. Heston, CEV...)

而舉個例子 如果v=variance follows GARCH(1,1)
咁v嘅stochastic process就係define by:


ω 你可以當係mean long-term volatility,
θ 就係個rate for volatility reverting back to its mean
ξ 就係volatility of the volatility process
而dB_t 其實都係wiener process
不過dW_t同dB_t係有correlation ρ

詳細嘅math就唔講得咁detail
(肯定會嚇走曬所有人 )
起碼都講完black scholes先

想問下其實要睇得明上邊條formula 同 notation 既意思（ volatility reverting back to its mean，
ξvolatility of the volatility process，wiener process） 其實需要咩程度 重記得上financial econometric 個陣lecturer 話唔需要數底但係堂堂都喺度prove啲數, 其實完全掌握唔到...

Btw, 巴打好有心,好多謝你

其實學呢啲冇可能唔需要數底
我覺得巴打應該係數底唔夠 基礎打得唔好
所以先掌握唔到
數學就係咁 如果foundation打得唔好 繼續學上去就好易出事 而且係冇得速成
我上面有個cm講過要睇得明stoc cal起碼要識啲咩 巴打可以碌返上去望下

不過冇數底又唔代表唔會明 (好似冇講過嘢咁 )
因為呢個世界有樣嘢叫youtube
如果巴打英文唔差 大可以上youtube慢慢睇片
好多片都真係幫到大家清concept 或者由淺入深講一啲數學嘅topic
你上去打GARCH model其實已經有好多resources
唔同程度任君選擇 真係可以唔明睇到明

希望幫到你

文科仔追緊

就咁講應該好難睇得明。。

其實科financial engineering 好濕滯
係quant 同derivatives 枱先會用到
但成行又有幾多quant 同deri 人

巴打多謝你，‘數底唔夠 基礎打得唔好同數學就係咁 ，如果foundation打得唔好 繼續學上去就好易出事 而且係冇得速成’ 2樣都講得好岩，我係出左黎做野幾年想再讀上去,有興趣之餘同埋讀e&f出路錢途好似都比較好所以就想pick up 番

Thank you so much for your help

肯花時間就ok㗎啦
大家一齊加油
今日上完lecture都發覺自己數底唔夠好

lm

lm學野 放低左數學兩年

讀過留名

3.) Black-Scholes-Merton Model

好啦大家我地又繼續stoc cal嘅旅程

上回提要:
上一個post我地已經講到Black-Scholes equation
但係為咗等懶得追post嘅人都知道我地做緊乜
我就好快同大家review一次我地究竟做過啲乜啦

首先我地假設stock price(股票價錢)係follow Geometric Brownian Motion (GBM)
就好似下面呢幅圖咁:

咁S就係stock price啦 S_t就係呢隻stock at time t 嘅price
而T就係我地concern嘅Maturity time point
乜嘢嘅Maturity? 當然就係我地最終想知道嘅嗰隻derivative到期嘅日子啦

但係再講落去之前 我知道未接觸過stoc cal嘅大家齋睇條式應該一頭霧水
你地心裏面正常係會問以下嘅問題
:follow GBM嘅stock price有乜咁特別? 同現實世界嘅有乜唔同?
: 現實啲股票嘅圖表乜樣都有 你個model係咪真係咁把砲一條式就包曬?

咁我都可以老實答你 其實呢個model係錯嘅
點解錯? 佢錯嘅原因有三 三個都好簡單
1.)大家睇返我上個cm講嗰啲assumption 現實世界有冇可能做到?
2.)上面我地假設咗σ係constant 即係volatility係constant 事實係咪咁呢?
3.) 大家仲記唔記得wiener process係continuous everywhere but no where differentiable? 咁S_t講到尾都係wiener process砌出黎 佢同樣有呢個property 但係現實世界嘅stock price係咪真係continuous everywhere?
(p.s. Black-Scholes-Merton model嘅問題我係呢個section差唔多尾聲就會詳細講一次)

雖則係錯嘅model 但係每一個model都總有佢嘅用處
如果唔係我都唔洗花咁多筆墨介紹Black Scholes
Follow GBM嘅stock price其實已經非常非常似現實世界嘅stock price movement
大家如果仲記得 Follow GBM嘅stock price係會有Close form (上面幅圖嘅S_T)

咁我依家就假設T = 1 (year) 換言之即係Maturity係一年之後
然後因為close form裏面嘅T同t其實係求其揀 (arbitrarily chosen)
只要揀嘅兩個time point a,b 都係 0<=a<b<=T就可以
咁我就可以利用呢樣嘢 將time = 0 (now) 到 time = T =1 (maturity) 之間嘅interval割開m份
然後不斷用close form搵中間每一個step嘅price
最尾就plot到一幅follow GBM嘅stock price出黎啦
(p.s. 下圖係用vba plot sample path係兩條)

首先m = 100 (即係割開100份 由t=0出發 S_0經歷100個step先到S_T)


然後係m = 500


大家可以見到其實真係好似好似現實世界嘅stock price
只係大家要bare in mind我啱先喺上面講嗰兩個問題
記住呢個model唔係100%啱 (雖則根本冇一個model係100%啱 )

咁好啦 assume咗stock price嘅process 就到我地真正想搵嘅derivative出場
如果我地有一個derivative f 而佢嘅underlying係S
(e.g. For simplicity 大家可以當係european call/put)
咁我地就可以連埋隻stock砌以下呢個portfolio出黎


跟住靠self-financing portfolio嘅property (唔會有額外嘅資金流入or流出呢個portfolio)
呢個portfolio嘅differential form就可以寫成下圖咁樣 (唔depends on dh_1 and dh_2)


之後再靠我地assume咗嘅stock price process同ito's lemma
經過一輪運算 我地就砌到Black-Scholes equation出黎啦
(當然我地亦都要specify埋f係maturity嘅payoff)


我地剩低嘅任務其實話難唔算難 但係亦都講唔上係容易
就係要搵一個(可能唔止一個)可以satisfy上面嗰條BS equation (pde)嘅 f

點解我話唔算難? 因為solve pde嘅精髓其實只係得一個字: Try! (猜)
只要你specify到一個f出黎 而你代f入去LHS = RHS 咁呢個f就係我地想要嘅嘢
無論你用乜solve PDE嘅technique 背後嘅原理都只係猜!

咁點解我又話講唔上容易? 你地都應該估到啦
點撚樣諗個f出黎try先得㗎 我冇方向咁try試撚到死都未solve到啦
但係大家唔洗驚 因為大家連try嘅時間都可以慳返
下一個cm介紹嘅Feynman-Kac formula會為大家即時解決所有煩惱
唔洗1秒即刻知道個f係乜
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剩返1200幾字應該講唔曬 一樣下個cm再戰

留名支持&感謝
利申：Riskman Year1 對自己major極陌生

其實都唔可以叫科普啦
我都知99%冇calculus底嘅人係唔會明
呢個post志在分享下大學入面嘅financial mathematics究竟搞緊乜
等有興趣嘅人可以自己再睇多啲
同時我都希望連登隨咗財經台啲圖表佬之外仲有第二把聲音

我覺得未講到已經會嚇走曬啲人
不過我會盡力

呢啲嘢你year 4就會學到

唔該哂

我純綷為興趣學數

要學後面feynman果堆 前題係要佢take果個course btw星期六見

頭3年係學d完全看似同risk man無關既基本野，例如math/stat course，但就係用黎幫助你讀到4字頭course果陣，更有效咁去理解呢個post既野

3.) Black-Scholes-Merton Model

b.) Feynman-Kac formula
係真正講Feynman-Kac之前 我想再做多少少introduction先
咁大家就會明得更快更深刻

我地依家問緊嘅問題其實有一個formal嘅名
就係叫做Cauchy problem (其實係其中一個special case)
(p.s. Cauchy呢個痴線佬真係無處不在 )
大家請睇下圖


其實我又呃咗大家 呢個問題同我地原先問緊嘅嘢其實差少少
大家仲記唔記得Black Scholes equation最尾有個 -rf term?

所以上面嗰個Cauchy problem其實唔exactly係我地想知嘅嘢

不過大家諗下 其實呢個Cauchy problem可以話係我地真正想知嘅問題嘅簡化版
如果我let -rf = 0 咁Black Scholes equation咪同Cauchy problem一模一樣囉
所以Cauchy problem其實就係問緊有邊啲f係satisfy呢個simplest case嘅pdf
大家有學過pde都知 solve咗simplest case其實就已經等於完成咗一半(general solution)
所以我地就搞掂咗Cauchy problem先啦

但係各位神奇嘅事情發生啦 我地其實已經搵到個f
正確黎講係Feynman (Richard Feynman)同Kac (Mark Kac)幫我地搵到個f出黎
Feynman-Kac formula正式登場!


好啦我相信去到呢一步已經嚇走咗唔少人
剩低落黎嘅都係勇者 我地繼續
點解我話Feynman同Kac已經幫我地搵到個f?
大家再睇真啲條formula 個f咪清清楚楚咁寫咗出黎
個f(t,s)就係E[φ(S_T )] 但係S係一個stochastic process咁解

咁大家可能又會問
:喂 我地之前咁辛苦將SDE變做pde 依家又變返SDE 你係咪又痴撚咗線?
大家唔好燥住 聽我講埋先

如果變返就咁一條SDE咁梗係冇用啦
但係依家我地真正關心嘅係f(t,s)
而依家我地知道f(t,s)其實等於一個Stochastic process S嘅function嘅expectation
咁嘅話就完全唔同講法
B而如果大家有讀過stat 知道expectation係點做嘅話
其實就會知道expectation只不過係integrate個 φ(S_T )*pdf in the whole domain
依家起碼叫做得到先 雖然in嘅過程可能好漫長
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但係大家唔好唔記得 我地其實未完成一開頭嘅任務
仲記唔記得cauchy problem其實只係我地原本條問題嘅簡化版? (let -rf = 0)
我地搵完簡化版嘅f (general solution)
係時候搵埋真正Black Scholes equation嘅f (Particular solution)
呢個時候就要出動finance版嘅feynman-kac formula


大家可以見到 唔同嘅地方只係highlight咗做紅色嘅嘢
依家條pde同我地問緊嘅問題完全一樣
而呢個f(t,s)就係我地真正想要嘅嘢

咁大家再諗返 我地依家只要將Black shcoles equation放入去就會自動搵到個f
咁點解唔咁做?

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咁依家剩返嘅嘢只係specify一個φ 然後做一次expectation就搞掂
比如好似european call咁 佢at maturity嘅payoff係 φ(S_T) = Max(S_T - K, 0)
where K is the strike price
而我下一個section就會示範一次點樣塞返呢一個 payoff φ落我地上面嘅Expectation入面
然後搵出BSM model嘅european call price formula

不過如果大家細心再留意下上面幅圖
其實仲有一個地方係好值得研究 甚至稱得上係不可思議
你地再留意下S follow個條SDE 睇下有乜特別

: 咦? 係喎 我地一開始話S follows GBM 應該係下面幅圖嘅第一條先啱喎
點解做做下數最尾會變撚咗第二條?


大家放心 唔係我on9做錯數 亦都唔係Feynman同Kac on9
呢個就係Option Pricing 嘅精髓 --- Risk neutral pricing
簡而言之 當你price一個derivative嘅時候 知道underlying實制嘅mean係完全冇用
只要你知道risk-free rate就可以price到呢隻derivative

大家可能仲未消化到上面堆嘢 所以未理解到Risk neutral pricing有幾震撼
但係呢個concept真係可以話係我成個post嘅精髓
上面講嘅全部公式你唔明唔緊要
但係只要你理解到呢個concept 基本上你已經明白咗一半Option pricing
下一個section我就會一一為大家道來
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補充少少背景資料
其實原本feynman-kac formula係關Quantum physics事
你見到條formula嘅名有Richard Feynman都知
咁點解無端端會攞咗過黎Finance呢度用?
事緣就係Black (Fischer Black)同Scholes (Myron Scholes) chok到條BS equation之後
一直都搵唔到一個f嘅analytical solution (但係佢兩個本身已經好勁 當時兩位都係MIT嘅prof)
佢地甚至搵過啲Physics嘅PHD student 請佢地試下solve個f出黎
不過都係無料到

最尾大家都應該估到
Merton就係第一個搵到呢個f嘅人 (所以個model先有Merton嘅名係度)
而佢就係察覺到原來Quantum Physcis呢個field 一早已經問過類似嘅問題 而且仲有條formula係度
咁直接攞黎用咪得囉 (當然佢修改過嘅版本就係所謂嘅"Finance版Feynman-Kac formula)