Introduction to Stochastic Calculus & Application in Finance

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最近好忙 應該要過埋下星期四先出到post

爸打介唔介意做個朋友？
Telegram : @molamolako

做緊deriv 野 但自問好廢 想自修下

Sorry要大家等咁耐 終於冇咁忙
今晚夜啲應該出到 post 講 Girsanov Theorem
今次我會用 latex 打㗎啦

留個名先。睇返好有feel🤡

4.) Girsanov Thoerem (Change of measure) & its application
咁多位好耐冇見 之前忙到連post都出唔到係度講聲Sorry先
依家得閒返啲就可以繼續出
之後我諗會keep住兩個禮拜內至少一個post嘅速度出
始終今個sem仲有 9 cred 要讀 加埋其他垃雜嘢 我唔敢開咁大個頭

好啦廢話講完 入正題
喺真係講Girsanov Theorem之前 首先要比少少introduction同motivation大家
曾幾何時我地喺#171揾過under Black-Scholes model 嘅 European call price formula
用下面幅圖幫大家溫溫書先


希望大家仲記得上面幅圖搞緊乜
如果跟唔到就返去前面溫返先
咁就正如上面幅圖所講 如果S_T唔見咗呢個世界就會非常美好
但係我地依家仲未有辦法可以將佢整走
所以唯有繼續做落去先 睇下途中會有咩發現啦


in完一大輪之後 又好神奇地好似比我地做到啲嘢咁
大家見到最尾嗰句應該都唔撚知我寫緊乜
點解我地好地地係Q-measure (risk-neutral world) 無端端in完之後會跳咗去Q*-measure

如果好粗略咁講 大家可以咁理解
依家 Z 呢個R.V. 喺Q-measure入面係follow N(0,1) 即係standard normal
呢點由我地一開始寫做integral form嗰時就可以見到
喺integral入面代表 Z 嘅dummy variable 係 ε
成個pdf都係standard normal嘅款

但係我地中途其實做過一次change of variable (由 ε 轉咗去 η)
integral入面嘅dummy variable到最尾已經變咗做 η
而且你睇返最尾個integral入面嘅pdf 竟然都係standard normal

ε 同 η 好明顯唔同 但係點解兩個可以同時follow standard normal
答案就係佢地兩個的確都係各自follow standard normal
只不過佢地分別喺係Q-world底下嘅Standard normal 同埋 Q*-world底下嘅Standard normal
(Q*係另一個probability measure 呢到我實在講唔到咁detail
真係要講就要由measure theory開始講起 都係輕鬆啲啦唔好咁痴線
如果真係有緣講到probability theory嘅話 我會再講多啲 )
大概咁講就係我地將 Z 呢個R.V.嘅mean shift咗少少
令到佢喺Q*-measure / Q*-world入面係一個standard normal R.V.

咁依家我地知道個答案會係咩
我地不如試下由頭到尾剩係用expectation做一次

大家有冇發覺好似仲簡單過change of variable inside integration?
原來我地一路做緊嘅嘢只係將一個exponential term抽走
然後轉一個新嘅measure (當然有限制唔可以隨便亂轉)
咁就可以化簡個expectation
當然嗰個exponential term唔係求其一個都得
但係呢個步驟正正就係Girsanov Theorem嘅神髓

Girsanov Theorem
其實就係幫緊我地喺expectation入面抽走一個特定form嘅exponential term
然後再轉入一個新嘅measure
最後令到個expectation易計啲

真正條theorem就好似下圖咁
其實只係將我地啱先遇到嗰個情況generalized咗佢
(Math jargon睇唔明唔緊要 最緊要係你明到上面我講嗰個logic就夠 )


見到啲鬼畫符硬係好痛苦唔知佢想點?
唔緊要我地用返call price呢個例子代入條theorem你就會即刻明點用


大家見到其實嗰個 θ 我地係可以自己揀 (可以係constant 可以係stochastic process)
總之嗰個 θ 可以令我地砌到theorem入面嘅exponential form就ok
time period 無論係 0到t 定 t到T 都冇所謂
而且當我地set好個 η_t 之後
我地就可以用Girsanov Theorem 直接得到
1. Q- measure 同 Q*-measure 嘅關係
2. 簡化咗嘅expectation
唔洗再慢慢in佢 呢個世界係咪非常美好呢

補充多一點 當我地由Q 轉咗去 Q*
其實背後 S_t嘅嗰條process都應該相應咁由in Q嘅process轉去in Q*嘅process
即係好似下圖咁


呢個theorem當然唔會剩係用喺european call身上啦
下次我會繼續用Girsanov Theorem去解決返上次Bond option卡住咗嘅位
上次卡住嘅位應該就係下圖呢個

呢個樣根本就係擺到明叫我地用Girsanov

今次講住咁多先 聽日仲要返學
好似開頭咁講 兩個禮拜內會有新post

巴打以前學過?

往事不堪回首.... 應該忘記左九成

巴打好勁
想同下有stat 底同少少risk man底 但係冇finance 底
應該睇咩書？？

Frm考既野有冇cuhk rmsc既1/3 syllabus

咁兩份卷夾埋一定有嘅
但係rmsc啲course肯定教得detail啲

巴打解釋得好好！
可add我嗎？tg @stillk22

多謝多謝

push push push
應該呢一兩日內會有update 趁放假出得密啲

大概講下之後嘅plan
Girsanov Theorem 應該仲會講多2-3個example
之後就會講quanto option (牽涉幾種currency嘅option)

然後就要睇下咁多位讀者意下如何
睇下你地想我照原定嘅content講少少simulation
定係繼續落去 開始講laplace transform同path dependent嘅option (e.g. lookback option, barrier option, CBBC )

simulation嘅話可能就會悶啲 因為主要都係用monte carlo
而其中一個重點就係點樣reduce variance 所以啲內容可能就會比較stat

至於laplace transform同path dependent option冇錯係就係好過癮
但係啲數嘅難度又係幾何級數咁上升 所以會愈黎愈難跟

不過我應該點都會cover曬呢兩個section嘅 大家唔洗擔心我會中途quit game 所以純粹係先後次序睇下大家想點揀

正呀

4.) Girsanov Thoerem (Change of measure) & its application
首先祝各位 豬籠入水 萬事勝意
希望新一年咁多位可以繼續支持小弟
新一年新開始 我決定由頭再講多一次bond option
之前用word打真係太柒 我依家自己望返都頂唔順
順便慢慢將啲嘢轉返做LaTex 方便之後執notes一次過post上黎
事不宜遲 開波

e.g. Bond option

Caution: 如果我冇特別講明 咁bond一律都係代表non-defaultable zero-coupon bond
[ p.s. 普通coupon bond我會留待真正認真講fixed income先處理 而加埋credit risk就要更加後先會提到]

(i) Background
首先我地要回憶返應該用啲乜嘢黎 model interest rate
其實我都剩係講過一個model 就係Vasicek Model
下圖就係Vasicek Model嘅樣 同埋 under Vasicek Model 嘅 (non-defaultable) zero-coupon bond price

詳細嘅derivation就暫時唔再寫 因為都係solve ODE冇乜咁特別 遲啲一次過再執

咁我地依家有咗 zero-coupon bond price 嘅 "Close form" 之後
我地就可以再考慮一樣嘢
點解我上面要用引號括住Close form? 原因就係interest rate r_t 依家已經係stochastic (random)
所以就算我地寫得出呢個Close form 其實zero-coupon bond price都唔會係deterministic

咁如果bond price都係stochastic嘅話 咁佢都應該會有一條屬於自己嘅dynamics
如果大家心水清都會知道我地可以靠Ito's lemma去揾返bond price嘅dynamics
[ Reasoning: the Bond price P we derived above was just like applying a function g to r_t, and Ito's lemma could help us in finding the dynamics of g(r_t) ]

但係單靠Ito's lemma當然就唔夠 大家可以見到個mean term幾撚複雜
但係唔緊要仲有得救 因為Basic derivative pricing黎黎去去都係得三樣嘢
1.Ito's lemma
2.Feynman-Kac formula
3.Girsanov Theorem
如果單靠一樣搞唔掂就兩樣一齊黎
依家我地嘅問題唔似Girsanov可以處理嘅嘢 咁就即係Feynman-Kac會幫到我地

睇下幾快手 成個mean term即刻變咗做rP
咁我地就可以寫低 bond price P 嘅dynamics啦


(ii) Structure
咁依家就真係萬事俱備 可以開始講bond option
首先顧名思義 Bond option就係option on (non-defaultable zero-coupon) bond啦
同普通option一樣都可以分Bond call option同Bond put option
同樣亦都有European同American之分
但係for simplicity我依家只會討論European bond call
( Note1: European bond put price可以用put-call parity揾到)
( Note2: 而American style嘅option由於牽涉到hitting time 所以要容後講完Laplace transform再一次過處理)

而下圖分別就係European bond call嘅structure同payoff


簡單咁講就係 at time T你有權用 $ K 買underlying bond

咁當at time T 嘅 market bond price P( T, T_1; r_T) > K
好自然你就會用 $K 買bond 然後 $P 賣返出去
所以呢個case 嘅 Payoff at time T 就會係 $P-K

但係當 P <= K 嘅時候 Payoff就會係 0
點解唔係 $K-P ? 大家要記住 Call/Put 係比你買賣underlying嘅權利
future/forward 先係一定要買underlying
所以當你發現 at time T 嘅 market bond price P 仲低過 K
咁好自然你就唔會exercise張call 咁Payoff at time T 就會 = 0
如果將兩個case合埋就可以好似上圖咁用maximum function寫低

(iii) Purpose
其實一路講呢啲exotic product嘅時候 我諗大家都會有一個疑問
「點解會有人買啲咁嘅product？對佢地有咩好處？」
咁就當然唔係啲人屎忽痕求其整出黎㗎啦
多數買exotic product嘅人都係出於兩個原因 - Hedging or Speculating

Hedging最簡單嘅解釋就係你本身已經做咗一啲trade 或者 exposed to some risks
導致你依家已經有個position喺手 亦即係你有risk喺手
而你嘅目標就係盡量減低甚至完全整走呢啲渣住喺手嘅risk 呢個就係hedging
假設你依家已經有一個bond portfolio喺手 裡面有好多唔同maturity嘅bond
咁你就可以透過bond call/put 去 hedge走一啲你唔想要嘅interest rate risk
例如你擔心interest rate會跌 導致bond price升嘅話 就可以買張bond call
咁一旦bond price到最尾(time T)真係升你都有錢落袋
而根據上面嘅payoff 我諗大家都會發現一樣嘢
買bond call其實好似係lock死咗bond price喺 $K呢個價位
咁某程度上係減低咗買呢隻bond嘅credit risk 因為$K呢個價位係一早specify咗喺張contract到

而Speculating就即係賭博
你如果估interest rate跌嘅話 就同上面一樣道理買bond call
如果相反估interest rate升就買bond put
當然呢種賭博比起就咁裸買future/forward安全 因為long call/put payoff最低都只係0 即係最多只會蝕option premium
相反如果你naked short call/put 就真係來世再見

一般人其實我諗都好難會掂到呢啲product (同埋都唔值得買呢啲)
真係大公司 or 好pro嘅投資者先會買呢類exotic
( p.s. 曾幾何時CBBC都係exotic 但係你睇下依家嘅財經台 )
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下個cm再講pricing
點解成日都爆字數

4.) Girsanov Thoerem (Change of measure) & its application

e.g. Bond option

(iv) Pricing
吹咗咁耐水 又係時候計下數
其實pricing上次都差唔多做完咁滯 依家純粹係執返靚啲同埋用埋Girsanov Theorem揾個Close form出黎
都係照舊會喺圖入面解釋埋每個step搞緊乜 分開圖字咁解釋實在太麻煩





唔知大家有冇發覺其實我地係冇用過(instantaneous)interest rate去price bond call?
首先明明應該要有discount factor 但係我地用舊bond price整走咗佢
跟住我地做做下連本身飛咗出去嘅嗰舊bond price都消滅埋
甚至連最尾我地用Black-Scholes call price嘅形式寫低“close form”
條formula裡面嘅interest rate r 都係set咗做0

最尾剩返“stock price”同“strike price”係痴住舊bond price
但係呢啲(non-defaultable zero-coupon) bond price其實係可以直接喺yield curve上面揾出去
所以到最尾其實我地根本就唔需要理(instantaneous) interest rate係啲乜
呢個就係我自己覺得bond option最神奇嘅地方
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下回提要：
Girsanov Theorem 呢part我仲會講多兩個example
分別係 exchange option 同埋 複雜版嘅european call (stochastic interest rate)
點解呢兩個example會留到最後先講？
原因就係我仲有一個幾重要嘅technique未講 就係Cholesky decomposition
簡單講就係點樣chok兩條有correlation嘅wiener processes出黎
而最後呢兩個example就係heavily based on呢個technique
我預計最遲下星期一應該可以完咗Girsanov呢part

4.) Girsanov Thoerem (Change of measure) & its application

e.g. Bond option

Sorry上一個cm其實最尾完得有啲急

紅色圈住嘅位我其實係冇解釋清楚
即係點解我地可以用Black-Scholes call price formula 去 represents bond call price
好彩有讀者提醒我 如果唔係我都唔察覺

所以我會由詳細啲咁做多次
justify點解最尾可以用Black-Scholes Call price formula嘅形式去寫低Bond call price
去圖






希望詳細啲咁寫大家會吸收得好啲
同埋真係明白點解會關Black-Scholes call price條formula事

至於點解我地要咁寫?
因為Black-scholes call price可以話係最basic嘅option pricing formula
將其他exotic option嘅price寫返做Black-Scholes call price咁嘅款就會極度方便我地計數
同埋大家都可以思考下當中嘅強大之處
大家要記得呢隻係exotic option 我地本身suppose佢嘅pricing formula可能會好撚複雜
但係最尾我地都可以用返最普通european call price嘅樣寫低條pricing formula
This is the beauty of derivative pricing