Introduction to Stochastic Calculus & Application in Finance

2b.) Ito's lemma and isometry

(e) Ito's lemma
搞咗咁耐終於到呢part
大家可能會覺得有咗isometry其實已經夠曬
但係總有痴線佬會繼續研究落去 (係你啦Itō Kiyoshi )

我地首先consider下面幅圖嘅野


如果你冇學過Stochastic calculus 你肯定會覺得問呢個問題嘅人都痴痴地線
本身X已經係一個complicated嘅random process
你仲左去問df(t,X(t))係啲乜 食飽飯冇野做咩

不過你又吹佢唔脹 因為佢真係搵到df係啲乜 而且個result非常elegant
要知道df(t,X(t))係乜 首先我地要回憶返year 1學過嘅taylor series expansion

類似係咁樣啦

咁跟住我地就用taylor series expansion爆開f(t,X(t))啦
(下面我會係圖裡面解釋曬所有野 因為分開圖字咁講太煩)








最尾個行就係我地想要嘅ito's lemma啦
用taylor expansion嘔心瀝血咁爆到df出黎究竟有乜用?

即刻比幾個example你地睇

(f) Application of Ito's lemma

兩三下手勢就搵到呢個咁奇怪嘅Z嘅distribution (Var都係同樣道理 可以自己試下)


只要let啱個f 直頭連個stock price嘅"close form"都可以搵埋出黎
不過呢個例子其實係一個special case 非常非常之special

大家須知道 一般stochastic differential equation (SDE)係好難搵到close form
通常最理想都只係會搵到一個"in distribution sense"嘅"close form"
但係呢一個例子嘅Stock price S 其實係follow Geometric Brownian Motion (GBM)
所以先會有一個咁靚嘅close form 而GBM對黎緊下一個section係非常非常重要
佢可以話係Black Scholes Merton model一個好核心嘅假設 亦都係點解呢個model咁強大嘅原因之一
(p.s. 其實換個角度你都可以話因為BSM model assume左呢樣野所以佢唔符合現實 呢個問題就容後再講)

lm

大家覺得暫時難度如何? 接唔接受到?
因為之後講Black Scholes同Feynman-Kac只會愈黎愈複雜
如果有需要我可以放慢啲 然後step同step之間加多啲解釋

如果變返pde我就講唔到了
因為我其實冇take過關於pde嘅course
所以依家諗住下個sem take 當係另一個approach去處理SDE

econometric好似見過咁上下

想問下 Stochastic calculus 同 stochastic process 有咩分別？？？

啲econ term完全唔明
有冇得話解釋下咁

數方面有根基就好易follow到

唔覺得未學過既會真係睇得明, 而學過既話又冇必要睇..

stochastic process 只係一堆random variables labelled by index
例如 markov chain, brownian motion, birth or death process, queueing process呢啲都係stochastic process例子

stochastic calculus就係stochastic process (好似多數都係brownian motion) 嘅calculus囉

高汁，當年讀到噴血，依家唔記得晒

但就算STAT3007，都已經一堆人話難

留名

continuous time stochastic processes 啲數整到我暈

精算撚留名

但 3007 已經好簡單，都係玩 transition matrix, birth and death process

仲要鬼佬比 grade 好鬆 手

應該大把世界喎

其實讀呢類 course 之前最好 take 下 ode 同 pde

有啲 concept 有埋 pde 會易跟好多

不過間間 U 既課程設計都好濕 9，又唔強制啲人讀番 basic concept

依家啲 rmsc 同 stat 撚連 first order ode 都唔識 solve 就去 take stochastic

我d fd transition matrix已經收左皮
果陣要不是個女ta幾靚，班友有去tutorial的話，應該炒曬

first order ode都唔知solve又真係有啲過份
不過課程設計濕9係真 其實呢兩科數底咁重要應該要強制take返啲math course

去完tuto起碼識做啲題目
但係明唔明到concept就另一回事