4.) Girsanov Thoerem (Change of measure) & its application
首先祝各位 豬籠入水 萬事勝意
希望新一年咁多位可以繼續支持小弟
新一年新開始 我決定由頭再講多一次bond option
之前用word打真係太柒 我依家自己望返都頂唔順
順便慢慢將啲嘢轉返做LaTex 方便之後執notes一次過post上黎
事不宜遲 開波
e.g. Bond option
Caution: 如果我冇特別講明 咁bond一律都係代表non-defaultable zero-coupon bond
[ p.s. 普通coupon bond我會留待真正認真講fixed income先處理 而加埋credit risk就要更加後先會提到]
(i) Background
首先我地要回憶返應該用啲乜嘢黎 model interest rate
其實我都剩係講過一個model
就係Vasicek Model
下圖就係Vasicek Model嘅樣 同埋 under Vasicek Model 嘅 (non-defaultable) zero-coupon bond price
詳細嘅derivation就暫時唔再寫 因為都係solve ODE冇乜咁特別
遲啲一次過再執
咁我地依家有咗 zero-coupon bond price 嘅 "Close form" 之後
我地就可以再考慮一樣嘢
點解我上面要用引號括住Close form? 原因就係interest rate r_t 依家已經係stochastic (random)
所以就算我地寫得出呢個Close form 其實zero-coupon bond price都唔會係deterministic
咁如果bond price都係stochastic嘅話 咁佢都應該會有一條屬於自己嘅dynamics
如果大家心水清都會知道我地可以靠Ito's lemma去揾返bond price嘅dynamics
[ Reasoning: the Bond price P we derived above was just like applying a function g to r_t, and Ito's lemma could help us in finding the dynamics of g(r_t) ]
但係單靠Ito's lemma當然就唔夠
大家可以見到個mean term幾撚複雜
但係唔緊要仲有得救 因為Basic derivative pricing黎黎去去都係得三樣嘢
1.Ito's lemma
2.Feynman-Kac formula
3.Girsanov Theorem
如果單靠一樣搞唔掂就兩樣一齊黎
依家我地嘅問題唔似Girsanov可以處理嘅嘢 咁就即係Feynman-Kac會幫到我地
睇下幾快手
成個mean term即刻變咗做rP
咁我地就可以寫低 bond price P 嘅dynamics啦
(ii) Structure
咁依家就真係萬事俱備 可以開始講bond option
首先顧名思義 Bond option就係option on (non-defaultable zero-coupon) bond啦
同普通option一樣都可以分Bond call option同Bond put option
同樣亦都有European同American之分
但係for simplicity我依家只會討論European bond call
( Note1: European bond put price可以用put-call parity揾到)
( Note2: 而American style嘅option由於牽涉到hitting time 所以要容後講完Laplace transform再一次過處理)
而下圖分別就係European bond call嘅structure同payoff
簡單咁講就係 at time T你有權用 $ K 買underlying bond
咁當at time T 嘅 market bond price P( T, T_1; r_T) > K
好自然你就會用 $K 買bond 然後 $P 賣返出去
所以呢個case 嘅 Payoff at time T 就會係 $P-K
但係當 P <= K 嘅時候 Payoff就會係 0
點解唔係 $K-P ? 大家要記住 Call/Put 係比你買賣underlying嘅權利
future/forward 先係一定要買underlying
所以當你發現 at time T 嘅 market bond price P 仲低過 K
咁好自然你就唔會exercise張call 咁Payoff at time T 就會 = 0
如果將兩個case合埋就可以好似上圖咁用maximum function寫低
(iii) Purpose
其實一路講呢啲exotic product嘅時候 我諗大家都會有一個疑問
「點解會有人買啲咁嘅product?對佢地有咩好處?」
咁就當然唔係啲人屎忽痕求其整出黎㗎啦
多數買exotic product嘅人都係出於兩個原因 - Hedging or Speculating
Hedging最簡單嘅解釋就係你本身已經做咗一啲trade 或者 exposed to some risks
導致你依家已經有個position喺手 亦即係你有risk喺手
而你嘅目標就係盡量減低甚至完全整走呢啲渣住喺手嘅risk 呢個就係hedging
假設你依家已經有一個bond portfolio喺手 裡面有好多唔同maturity嘅bond
咁你就可以透過bond call/put 去 hedge走一啲你唔想要嘅interest rate risk
例如你擔心interest rate會跌 導致bond price升嘅話 就可以買張bond call
咁一旦bond price到最尾(time T)真係升你都有錢落袋
而根據上面嘅payoff 我諗大家都會發現一樣嘢
買bond call其實好似係lock死咗bond price喺 $K呢個價位
咁某程度上係減低咗買呢隻bond嘅credit risk 因為$K呢個價位係一早specify咗喺張contract到
而Speculating就即係賭博
你如果估interest rate跌嘅話 就同上面一樣道理買bond call
如果相反估interest rate升就買bond put
當然呢種賭博比起就咁裸買future/forward安全 因為long call/put payoff最低都只係0 即係最多只會蝕option premium
相反如果你naked short call/put 就真係來世再見
一般人其實我諗都好難會掂到呢啲product (同埋都唔值得買呢啲)
真係大公司 or 好pro嘅投資者先會買呢類exotic
( p.s. 曾幾何時CBBC都係exotic 但係你睇下依家嘅財經台
)
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下個cm再講pricing
點解成日都爆字數