[數學普及] Measure Theory (測度論) 簡介 ver. 2

4.2. Measure 的特性 (II)

(d) Continuity of Measure

(未學過limit? 可以望下呢個post
https://lihkg.com/thread/486199/page/1
#25)

呢個特性亦都解釋到點解我地希望 countable union of measurable sets ia measurable.

(i) 如果 E_1 ⊆ E_2 ⊆ E_3 ⊆ ... ⊆ E_n ⊆ ..., 我地有:

證明我地用番 (c) 條橋, recall返

所以我地有


Exercise: 寫出以上的equalities的理由

最後的equality係因爲 E_n 包哂 E_{n-1}, ..., E_2, E_1.

(ii) 相反, 如果 E_1 ⊇ E_2 ⊇ E_3 ⊇ ... ⊇ E_n ⊇ ... , 再加上

μ(E_1) < +∞

(即係finite), 我地有

我地希望整到好似上面咁, 但點整呢?

我地可以咁諗番real number個case: 如果 x < y < z, 我地點樣整到倒轉? 就係 0 < z - y < z - x 啦
所以抄番呢條橋, 而且呢度 E_1 係最大的 set
所以我地可以就咁設

F_1 = E_1 \ E_1 = ∅
F_2 = E_1 \ E_2
F_3 = E_1 \ E_3
...
F_n = E_1 \ E_n

咁我地就可以好開心咁用番第一部份

第一個等號係第一部份, 第二個等號係 F_i 個條式, 第三個等號係 De Morgan's Laws (See Appendix), 最後個等號係 (b) 最後果條式

另一方面,


兩邊相等架喎, 所以我地有


執番靚佢之後就得到

Q: 點解我地要假設 μ(E_1) 係finite?

-------------------------------------------------------------

Application: Borel-Cantelli Lemma

定理: 如果 E_1, E_2, ... 係一堆measurable sets 而且 係 finite 的話, 我地有

點證明好呢

望到同 Continuity of Measure 好似喎, 不如首先拆左個 intersection 先啦, 設, 咁我地要 check 齊條件:
1. F_{n + 1} ⊆ F_n for every n? Yes, 因爲個union越黎越少野
2. μ(F_1) 係咪 finite? Yes, 因爲
好, 用 (d) 的第二部份
所以我地有


最後等號個理由係咩? 咁就要望返我開頭比果條link啦

如果轉成probability + 人類語言黎講 (See Appendix (2)):
如果 , 咁 probability of infinite of them occur = 0

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Appendix (1) De Morgan's Laws

係logic上, De Morgan's Laws的表示係

1. [Not (A or B)] if and only if [(Not A) and (Not B)]
2. [Not (A and B)] if and only if [(Not A) or (Not B)]

最簡單的證明係畫個 truth table

而 intersection, union 同 complement 可以睇做:

"x ∈ A∩B" ⇔ "(x ∈ A) and (x ∈ B)"
"x ∈ A∪B" ⇔ "(x ∈ A) or (x ∈ B)"
"x ∈ A\B" ⇔ "(x ∈ A) and (x 唔係 B 的point)" ⇔ "(x ∈ A) and Not(x ∈ B)"

(⇔ 解 if and only if, x ∈ A 解 x 係 A的一點, 我唔想罰抄)
然後用番logic果個版本就可以啦

-------------------------------------------------------------

Appendix (2) 點解個奇怪 set 咁 interpret

Recall 番我地個 Claim (數學證明常用的 term, 通常係證明入面寫出黎話比人知我將要證明D咩野)


以下的proof比較深奧, 唔明唔緊要 (其實只係純粹玩邏輯, 唔太關數學事)

留名

點解剛才呢個部分叫做 continuity of measure？
同 continuity of real function 有咩類同之處？

點解剛才呢個部分叫做 continuity of measure？
同 continuity of real function 有咩類同之處？

Invariant under taking limit?

點解剛才呢個部分叫做 continuity of measure？
同 continuity of real function 有咩類同之處？

Invariant under taking limit?

係, 你望返果兩條式, 就好似我地平時 real continuous function
lim f(x_n) = f(lim x_n) 咁

我下篇文有個位要用 MI
駛唔駛我講下係乜黎先

樓主以後得閒可唔可以將全文放入一個blog方便其他讀者重溫?

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絕對可以呀, 有無邊個blog好用, 同support打數學公式? (重點係有得改 )

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https://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php
打完 latex 會自動 gen 圖片嘅 link

進階嘅可以用mathJax

多謝你比其它field既人了解依門學科

有個問題想問下, 之前同人討論0.99..等唔等於1,我話0.99..=1係因為real number既definition 係用limit 黎define, 但起rational number 既definition入面每個數都有唯一既質因解,咁9/10+9/100+9/1000+...依個數加幾多都好,分子分母都cancel唔到,除非用limit 去define但又為反rational number 既definition...

其實無違反, 0.999...係一個geometric sum, 可以用 DSE level 直接計

5.1. Measurable Functions (I)

主角 (新的積分) 即將出場, 係正式出場之前, 我地要交代少少背景資料先:

(a) Characteristic Functions and Step Functions

開始之前, 同大家介紹一個常用的 function: Characteristic function (Probability theory 會叫做 indicator function)

Given 一個 set X, A⊆X. 我地定義

由於個output係real number, 我地可以將一堆 characteristic function combine做咁的樣


如果 X = set of real numbers, A_i 都係 intervals (即係 (a, b), (a, b], [a, b), [a, b] 咁 ge 樣 ge野)
我地叫呢個 function 做 step function

一個step function的graph會類似係咁:

(Source: Wikipedia)

細心的讀書可以留意到:

我地可以假設step function堆 A_i 都係 mutually disjoint intervals. (See Appendix (2))

---------------------------------------------------

(b) Riemann Integral Revisited

Given 一個 step function, assume d A_i mutually disjoint, 我地知道:

(i) Step functions 係 Riemann Integrable on any [a, b].
落刀的位咁岩全部都係A_i的end points的話, Overestimate = Underestimate

(ii)
個細階L of an interval 係個interval endpoints 的 difference

細心再望一下我最初點講Riemann Integral, 其實 Overestimate 同 Underestimate 都係一個step function的Riemann Integral

所以如果 f 係 Riemann Integrable on [a, b] 的話, 我地有:


inf 當係 minimum, sup 當係 maximum (當然嚴格黎講唔岩, 不過當住先, 兩者差唔多)

所以建構 Riemann Integral 的"原子"係 Step Functions. 所以我地而家要諗的係, 重新定義 Integral 果陣, 我地使用乜野"原子"
由於我地而家唔再係R, 無得講interval, 但係我地想好似Riemann Integral of step functions咁計, 即係:


係呢個情況下, 我地被逼要求 A_i 都係measurable sets.
如果 f 係咁樣, 而所有 A_i 都係 Measurable 的話, 我地叫佢做 Simple Function, 係定義 Integral 的時候, 我地需要對呢D "原子"有一定認識, 下次再講

==============================

Appendix (1) Mathematical Induction (MI)

呢度講 MI 個原理同點用
簡單黎講, 做 MI 我地的步驟係咁:

1. 搵出要證明 關於 positive integer n 的 statement, 我地叫 P(n)
2. 先證明 P(1) 係岩
3. 如果 P(k) 係岩, 咁 P(k + 1) 就要岩

By induction, P(n) is true for all positive integer n.

原理好似推骨牌咁, 我地將堆骨牌排次序, P(n) 岩的話代表第 n 塊骨牌冧左, 以上2同3 可以演繹成咁:
2. 第一塊骨牌冧左
3. 如果第k塊骨牌冧左的話, 咁第k+1塊骨牌會冧

由於第一塊冧左, 第3句就話比我地知第二塊就會冧, 因爲第二塊冧左, 第3句話話比我地聽第三塊都會冧, 如此類推, 所以全部都冧哂 (i.e. P(n) is true for all n)

我地做個簡單例子:
P(n) 係

"1+2+3+...+n = (1/2)(n)(n+1)"

n = 1: LHS = 1, RHS = (1/2)(1)(1+1) = 1 = LHS, so P(1) is true.

Suppose P(k) is true i.e. 1+2+3+...+k = (1/2)k(k+1), then

n = k + 1: LHS = 1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = (1/2)k(k + 1) + (k + 1) = (1/2)(k + 1)(k + 2) = (1/2)(k + 1)[(k + 1) + 1] = RHS

By induction, 1+2+3+...+n = (1/2)n(n+1) for all positive integer n.

------------------------------------------------

Appendix (2) Decomposition into Finite Disjoint Union of Intervals.

我地首先留意到兩樣野:

(i) A_i ∩ A_j 一係 empty set, 一係 interval (singleton 我地可以寫做 [a, a], 所以都算係 interval)
(ii) A_i \ A_j 會係 empty set 或者 union of at most two disjoint intervals.
(Hint: 望下兩個 interval 的位置有乜野可能性?, 其實你需要考慮的cases只有三個)

(我發覺直接contruct非常1999, 不如用 induction (MI), 所以決定擺落 appendix...)
我地而家 induction on n (原本有幾多個intervals) (M2 的同學仔, 係時候見識下 MI 的厲害, 唔係淨係用黎證 D equality架 )

n = 1: 如果原本得一個 interval, 當然係廢話...

Suppose n = k is true for some k,

n = k + 1: 我地首先可以將頭 k 個 interval 做一次, 再用 induction hypothesis, 可以將頭 k 個改寫, 變成咁:
好啦, 果兩個 observation就係呢度用到, 由於 B_i 係mutually disjoint, 所以

A_{k+1} 上的係最多一個 B_i, 所以我地可以咁樣拆個A_{k+1}:

再用 (i) + (ii), 完成

By induction, 對所有 n 我地都可以咁拆

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有個問題想問下, 之前同人討論0.99..等唔等於1,我話0.99..=1係因為real number既definition 係用limit 黎define, 但起rational number 既definition入面每個數都有唯一既質因解,咁9/10+9/100+9/1000+...依個數加幾多都好,分子分母都cancel唔到,除非用limit 去define但又為反rational number 既definition...

其實無違反, 0.999...係一個geometric sum, 可以用 DSE level 直接計

geometric sum to infinity 唔係一個 limit 嚟咩

由於我地而家唔再係R, 無得講interval, 但係我地想好似Riemann Integral of step functions咁計, 即係:


係呢個情況下, 我地被逼要求 A_i 都係measurable sets.
如果 f 係咁樣, 而所有 A_i 都係 Measurable 的話, 我地叫佢做 Simple Function, 係定義 Integral 的時候, 我地需要對呢D "原子"有一定認識, 下次再講

唔多明呢段

Lm

由於我地而家唔再係R, 無得講interval, 但係我地想好似Riemann Integral of step functions咁計, 即係:


係呢個情況下, 我地被逼要求 A_i 都係measurable sets.
如果 f 係咁樣, 而所有 A_i 都係 Measurable 的話, 我地叫佢做 Simple Function, 係定義 Integral 的時候, 我地需要對呢D "原子"有一定認識, 下次再講

唔多明呢段

step function = 分幾個interval, 每個interval上個function都係constant
integrate step function = 每個interval長度乘function value, 再全部加埋佢

simple function = 分幾個measurable set, 每個measurable set上個function都係constant
integrate simple function = 每個measurable set measure乘function value, 再全部加埋佢

\cup_{i=1}^\inf E_i=\cup_{i=1}^\inf F_i

\cup_{i=1}^n E_i=\cup_{i=1}^n F_i for any n

第二條唔係第一條既定義黎咩？

唔係, 第二 implies 第一, 但佢地的關係唔係定義

咁我剩係要求第二條咪得
反正符合第二條 第一條自動符合埋

留名學野
但係我想問如果我想睇Measure Theory嘅textbook應該睇邊本
利申:Engineering fm

有咩數學background同想咩方向? E.g. probability, pure math, applied math, statistics, etc.

Calculus+Prob and stat都有讀過
本來想讀Pure Maths 但係間u得Applied Maths
應該向住applied maths方向讀

細電仔留名
想巴打講下 Fourier analysis
對於ee, FT都係當frequency domain 咁睇
想知數學上既意義

細電仔留名
想巴打講下 Fourier analysis
對於ee, FT都係當frequency domain 咁睇
想知數學上既意義

如果想學pure math ge fourier, 首先要識measure theory

\cup_{i=1}^\inf E_i=\cup_{i=1}^\inf F_i

\cup_{i=1}^n E_i=\cup_{i=1}^n F_i for any n

第二條唔係第一條既定義黎咩？

唔係, 第二 implies 第一, 但佢地的關係唔係定義

咁我剩係要求第二條咪得
反正符合第二條 第一條自動符合埋

我只係 emphasize 兩個fact姐，d人未必留意到

開始複雜

開始複雜

其實idea好簡單, 就係 Riemann integral 用 step function approximate個area
Lebesgue Integral 用 Simple Functions approximate 個 area

多謝你比其它field既人了解依門學科

有個問題想問下, 之前同人討論0.99..等唔等於1,我話0.99..=1係因為real number既definition 係用limit 黎define, 但起rational number 既definition入面每個數都有唯一既質因解,咁9/10+9/100+9/1000+...依個數加幾多都好,分子分母都cancel唔到,除非用limit 去define但又為反rational number 既definition...

其實無違反, 0.999...係一個geometric sum, 可以用 DSE level 直接計

geometric sum to infinity 唔係一個 limit 嚟咩

如果要好concise咁講我諗要特登寫返個post 講
我叫 Edelschwarz講下, 同佢果個post關係大D