[數學普及] Measure Theory (測度論) 簡介 ver. 2

留名學野
但係我想問如果我想睇Measure Theory嘅textbook應該睇邊本
利申:Engineering fm

有咩數學background同想咩方向? E.g. probability, pure math, applied math, statistics, etc.

Calculus+Prob and stat都有讀過
本來想讀Pure Maths 但係間u得Applied Maths
應該向住applied maths方向讀

呢本應該可以, 會有埋 probability 的應用

留名學野
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應該向住applied maths方向讀

呢本應該可以, 會有埋 probability 的應用

依家見到黃色封面嘅書就會勾起GTM嘅陰影

留名學野
但係我想問如果我想睇Measure Theory嘅textbook應該睇邊本
利申:Engineering fm

有咩數學background同想咩方向? E.g. probability, pure math, applied math, statistics, etc.

Calculus+Prob and stat都有讀過
本來想讀Pure Maths 但係間u得Applied Maths
應該向住applied maths方向讀

呢本應該可以, 會有埋 probability 的應用

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GSM more readable

多謝你比其它field既人了解依門學科

有個問題想問下, 之前同人討論0.99..等唔等於1,我話0.99..=1係因為real number既definition 係用limit 黎define, 但起rational number 既definition入面每個數都有唯一既質因解,咁9/10+9/100+9/1000+...依個數加幾多都好,分子分母都cancel唔到,除非用limit 去define但又為反rational number 既definition...

其實無違反, 0.999...係一個geometric sum, 可以用 DSE level 直接計

geometric sum to infinity 唔係一個 limit 嚟咩

如果要好concise咁講我諗要特登寫返個post 講
我叫 Edelschwarz講下, 同佢果個post關係大D

infinite sum of rational number 唔一定係rational
咁啱呢個example係啫
所以in general呢個唔係喺rational number入面處理到嘅事

多謝你比其它field既人了解依門學科

有個問題想問下, 之前同人討論0.99..等唔等於1,我話0.99..=1係因為real number既definition 係用limit 黎define, 但起rational number 既definition入面每個數都有唯一既質因解,咁9/10+9/100+9/1000+...依個數加幾多都好,分子分母都cancel唔到,除非用limit 去define但又為反rational number 既definition...

其實無違反, 0.999...係一個geometric sum, 可以用 DSE level 直接計

geometric sum to infinity 唔係一個 limit 嚟咩

如果要好concise咁講我諗要特登寫返個post 講
我叫 Edelschwarz講下, 同佢果個post關係大D

infinite sum of rational number 唔一定係rational
咁啱呢個example係啫
所以in general呢個唔係喺rational number入面處理到嘅事

最簡單例子:
pi = 3 + 1/10 + 4/100 + ...
但 pi 唔係rational

有感下一篇連math major 都有機會陣亡

再留名

5.2. Measurable Functions (II)

上次有人唔明

呢條式講的係, 新"長方形"的闊係 μ(A_i), 高係 c_i

=========================================================

(a) A Property of Simple Functions.

提番 Simple Function 係D咁的樣的野


where A_i are measurable sets. 我地可以好似interval個case咁 assume d A_i mutually disjoint, 不過個證明簡單好多, 因爲堆 measurable sets 係一個 σ-algebra, 所以個observation可以唔理 (Proof: Exercise. )

然後, 由於呢個sum 得FINITE咁多個"term", 我地可以 relabel 過 d A_i 同好似上面咁重組d measurable sets, 令到 c_1 < c_2 < ... < c_n., 而因爲左以下的formula, 我地assume 全部 A_i 的 union 係成個世界 X. (原本堆 A_i union 唔係X咪格硬加個 0 落去 lor )

然後就有好神奇的野出現啦:

(Generally speaking, given兩個sets A, B, 我地話 if and only if f(x) ∈ B)

所以我地可以conclude到以下呢樣野:

Theorem 1. 如果 s 係 simple function, 咁 for any a ∈ ℝ, is measurable.

---------------------------------------------

(b) Measurable Functions

之後我地要問有乜野 function 可以拎黎做 integration. 之前提過, RIemann Integral 係用 step function 做approximation, 相對地, 我地用 simple function 做approximation, 所以如果我地要 integrate 一個 function 的話, 呢個 function 應該可以 approximated by simple functions, 正式黎講, 即係:

Definition. 如果 係一個function, 而且 f 係一個sequence of simple function 的pointwise limit的話, 我地就會話 "f is measurable" (or "f is a measurable function").

Pointwise limit 係指 for any x ∈ X. 我地亦都會話 {s_n} converge to f pointwisely.

學過 Measure Theory 的朋友會話, 喂, 我學開果個definition唔係咁喎

但係其實兩個definition係equivalent:

Theorem 2. (a) 如果 係一個function, "f is measurable" ⇔ "for any a ∈ ℝ, is measurable"

(b) 如果 f: X -> [0, ∞] 係一個 non-negative measurable function的話, 我地可以搵到一個 increasing sequence of simple function {s_n} (即係 s_n (x) ≤ s_{n+1} (x) for all x ∈ X, n ∈ ℕ ) 令 {s_n} converges to f pointwisely

(b) 呢個結果係異常重要, meausre theory 關於integration等式的題目的證明好多時用到用到呢個結果 (再加唔知幾耐之後講的一條大定理)

你或者會問, 點解D會用 Theorem 2 右邊果句做定義, 呢句野好似好無厘頭喎
好多書用呢個定義係因爲可以推廣到general的情況 (即係codomain 唔一定係 real numbers), 但係我地呢度唔會出現, 兩個定義各有各好, 下一篇會示範比大家睇兩個definition都有好處

補充番少少講 s^{-1} (a, ∞]
如果 s(x) = c for all x 的話, c_1 = c, 中間果行會無左
Otherwise n最少係2, 所以上面條formula work.

你highlight曬，搞到我唔知點樣highlight黎問野

你highlight曬，搞到我唔知點樣highlight黎問野

改番d 顏色
sorry 下次highlight 少d野

你highlight曬，搞到我唔知點樣highlight黎問野

改番d 顏色
sorry 下次highlight 少d野

唔好呀，d highlight其實幾有用，我嘗試緊用quote去解決呢個問題

(a) A Property of Simple Functions.

提番 Simple Function 係D咁的樣的野


where A_i are measurable sets. 我地可以好似interval個case咁 assume d A_i mutually disjoint, 不過個證明簡單好多, 因爲堆 measurable sets 係一個 σ-algebra, 所以個observation可以唔理 (Proof: Exercise. )

如果A_i唔係mutually disjoint, 我地就可以用前面E_i 變F_i 既方法將佢地變做mutually disjoint，而由於A_i係sigma algebra，所以變出黎個d都會係measurable set ?

然後, 由於呢個sum 得FINITE咁多個"term", 我地可以 relabel 過 d A_i 同好似上面咁重組d measurable sets, 令到 c_1 < c_2 < ... < c_n., 而因爲左以下的formula, 我地assume 全部 A_i 的 union 係成個世界 X. (原本堆 A_i union 唔係X咪格硬加個 0 落去 lor )

唔多明呢到，點解可以assume 全部A_i的union係X，「格硬加個0落去」 又係咩意思？

然後就有好神奇的野出現啦:

我再諗下點解先

你或者會問, 點解D會用 Theorem 2 右邊果句做定義, 呢句野好似好無厘頭喎

「Theorem 2 右邊果句」係咩意思？你意思係Theorem 2(a)？

Appendix: Proof of Theorem 2.

下文數學高能注意

Remark. 其實measurable functions有一個再 general d 的定義, 不過呢度我地用呢個定義已經足夠啦~~~ (唔服的話, 實質上我地呢度講緊的係 f: (X, A) -> (ℝ, B), B = Borel σ-algebra)

證明含有 "A ⇔ B" 的statement, 我地要證明兩樣野:
(i) A ⇒ B
(ii) B ⇒ A.

(i) 先假設 f measurable, 即係 , s_n simple functions. 利用 limit of sequence 的定義 (ε = (f(x) - a) / 2 > 0),

f(x) > c
⇔ 存在某個 N ∈ ℕ, 令到 s_n (x) > a for all n ≥ N.
⇔ 存在某個 N ∈ ℕ, 令到 for all n ≥ N.
⇔ 存在某個 N ∈ ℕ, 令到
⇔

所以
(*原來我之前漏左講咩叫兩個set 相等, 兩個sets A = B 意思係 A⊆B and A⊇B, 亦即係 x ∈ A ⇔ x ∈ B)

Theorem 1. 話比我地知, 係measurable set, 由於堆measurable sets係一個 σ-algebra, 因此 係 measurable (σ-algebra定義入面的 4, 再用 De Morgan's Law 同第3 就知 任意sequence of measurable sets 的 intersection 都係measurable)

然後 sequence of measurable set 的union係measurable, 所以 is measurable.

------------------------------------------------

(ii) 係開始之前, 我地先學一個係measure theory非常常用的procedure:

先證 non-negative function係岩, 然後因爲任何 function 都可以切成咁: f(x) = f+(x) - f-(x), where f+(x) = max{f(x), 0}, f-(x) = max{-f(x), 0} (簡單黎講 f+ 係 f positive的部份, f- 係 f negative 的部份), 所以所有 function 都岩

Q: 點解唔會出現 infinity - infinity?

好, 而家假設 is measurable for any a ∈ ℝ. 先假設 f 係 non-negative. 我地證明 f 係measurable, 即係要搵一個sequence of simple function, 而呢個sequence 的 pointwise limit 係 f.

我地先解決一個比較簡單的case 先: f is bounded. (Math 哲學: 搞唔掂咪試下 solve 下 d special cases 睇下有乜睇到先)
即係, 搵到一個 M > 0 令到 f(x) ≤ M for all x.

我地可以先將 [0, M] 斬開兩半, 即係 [0, M/2], (M/2, M]
我地定義

即係: , 睇番我地個假設, 所以 s_1 係simple function.
點整 s_2 呢? 將 [0, M] 斬開四等份, 即係 [0, M/4], (M/4, M/2], (M/2, 3M/4], (3M/4, M]
再定義

即係

所以 s_2 都係 simple function. (注意 )
最後定義

所以 s_n 都係 simple.
而 by construction, 0 ≤ f(x) - s_n(x) ≤ 1/2^n for any x ∈ X.
所以 (實際上再強 d, uniformly)

咁 f unbounded 點做呢? Given一個positive integer n, 我地定義

然後 f_n 都係 bounded, 而且都係measurable (點解呢? 諗下呢個set係咩樣? 如果大家都唔明的話我可以再講解下)), 所以對每個 n 我地都可以執到條sequence of simple function , 令到
之後神奇的野就發生啦: 我地定義 就搞掂

最後就要證明 .

Case 1:
如果 f(x) 係 finite 的話, 我地可以搵到一個 integer K 令到 f(x) < K, 即係話 f_n(x) = f(x) for all n ≥ K. 望返個construction, 即係話

for any m, k ≥ K, n ∈ ℕ

即係話

Case 2:
如果 f(x) = ∞ 點算呢, 咁樣的話, 我地知道

Q.E.D.

Q1. 如果A_i唔係mutually disjoint, 我地就可以用前面E_i 變F_i 既方法將佢地變做mutually disjoint，而由於A_i係sigma algebra，所以變出黎個d都會係measurable set ?

Q2. 唔多明呢到，點解可以assume 全部A_i的union係X，「格硬加個0落去」 又係咩意思？

Q3. 我再諗下點解先

Q4. 「Theorem 2 右邊果句」係咩意思？你意思係Theorem 2(a)？

Q1. Yes

Q2. 例如係ℝ, 我地有
實際上我地可以寫做

Q3. Hint: 個set轉變的位係exactly 果D c_n, 而我係上次講過D c_n點排

Q4. yes, typo

Q1. 如果A_i唔係mutually disjoint, 我地就可以用前面E_i 變F_i 既方法將佢地變做mutually disjoint，而由於A_i係sigma algebra，所以變出黎個d都會係measurable set ?

Q2. 唔多明呢到，點解可以assume 全部A_i的union係X，「格硬加個0落去」 又係咩意思？

Q3. 我再諗下點解先

Q4. 「Theorem 2 右邊果句」係咩意思？你意思係Theorem 2(a)？

Q1. Yes

Q2. 例如係ℝ, 我地有
實際上我地可以寫做

Q3. Hint: 個set轉變的位係exactly 果D c_n, 而我係上次講過D c_n點排

Q4. yes, typo

Q2 明了
Q3 都明了，之前諗得複雜咗
至於appendix個proof...得閒先睇

Q1. 如果A_i唔係mutually disjoint, 我地就可以用前面E_i 變F_i 既方法將佢地變做mutually disjoint，而由於A_i係sigma algebra，所以變出黎個d都會係measurable set ?

Q2. 唔多明呢到，點解可以assume 全部A_i的union係X，「格硬加個0落去」 又係咩意思？

Q3. 我再諗下點解先

Q4. 「Theorem 2 右邊果句」係咩意思？你意思係Theorem 2(a)？

Q1. Yes

Q2. 例如係ℝ, 我地有
實際上我地可以寫做

Q3. Hint: 個set轉變的位係exactly 果D c_n, 而我係上次講過D c_n點排

Q4. yes, typo

Q2 明了
Q3 都明了，之前諗得複雜咗
至於appendix個proof...得閒先睇

我預左 non math major 會好大機會睇唔明個 proof, 但係又唔想 9up 左個 theorem 乜都唔講
d 人覺得 measure theory 難的其中一個原因係唔識拆D set, 呢個真係要憑經驗累積同埋敏銳的直覺

(i) 先假設 f measurable, 即係 , s_n simple functions. 利用 limit of sequence 的定義 (ε = (f(x) - a) / 2 > 0),
[/qoute]
呢到即係話f(x) > 2a？點解？

[quote]f(x) > c
⇔ 存在某個 N ∈ ℕ, 令到 s_n (x) > a for all n ≥ N.

呢兩句都唔明

(i) 先假設 f measurable, 即係 , s_n simple functions. 利用 limit of sequence 的定義 (ε = (f(x) - a) / 2 > 0),
[/qoute]
呢到即係話f(x) > 2a？點解？

[quote]
f(x) > c
⇔ 存在某個 N ∈ ℕ, 令到 s_n (x) > a for all n ≥ N.

呢兩句都唔明

(i) 先假設 f measurable, 即係 , s_n simple functions. 利用 limit of sequence 的定義 (ε = (f(x) - a) / 2 > 0),

呢到即係話f(x) > 2a？點解？

f(x) > c
⇔ 存在某個 N ∈ ℕ, 令到 s_n (x) > a for all n ≥ N.

呢兩句都唔明

留名學野
但係我想問如果我想睇Measure Theory嘅textbook應該睇邊本
利申:Engineering fm

有咩數學background同想咩方向? E.g. probability, pure math, applied math, statistics, etc.

Calculus+Prob and stat都有讀過
本來想讀Pure Maths 但係間u得Applied Maths
應該向住applied maths方向讀

呢本應該可以, 會有埋 probability 的應用

感謝巴打 完SEM之後睇下先

留名學野
但係我想問如果我想睇Measure Theory嘅textbook應該睇邊本
利申:Engineering fm

有咩數學background同想咩方向? E.g. probability, pure math, applied math, statistics, etc.

Calculus+Prob and stat都有讀過
本來想讀Pure Maths 但係間u得Applied Maths
應該向住applied maths方向讀

呢本應該可以, 會有埋 probability 的應用

感謝巴打 完SEM之後睇下先

但最好睇返少少sequence series 果d 先
其他elementary analysis topic唔太重要

(i) 先假設 f measurable, 即係 , s_n simple functions. 利用 limit of sequence 的定義 (ε = (f(x) - a) / 2 > 0),

呢到即係話f(x) > 2a？點解？

f(x) > c
⇔ 存在某個 N ∈ ℕ, 令到 s_n (x) > a for all n ≥ N.

呢兩句都唔明

1. There exists N such that
|s_n (x) - f(x)| < (f(x) - a) / 2
拆absolute value 再移項得到
a < (f(x) + a) /2 < s_n (x) < something we dont care

(i) 先假設 f measurable, 即係 , s_n simple functions. 利用 limit of sequence 的定義 (ε = (f(x) - a) / 2 > 0),

呢到即係話f(x) > 2a？點解？

f(x) > c
⇔ 存在某個 N ∈ ℕ, 令到 s_n (x) > a for all n ≥ N.

呢兩句都唔明

你計錯數
1. By definition of limit of sequence, there exists N such that
|s_n (x) - f(x)| < (f(x) - a) / 2 for all n ≥ N
拆absolute value 再移項得到
a < (f(x) + a) /2 < s_n (x) < something we dont care for all n ≥ N

2. Typo, 應該係 f(x) > a

(i) 先假設 f measurable, 即係 , s_n simple functions. 利用 limit of sequence 的定義 (ε = (f(x) - a) / 2 > 0),

呢到即係話f(x) > 2a？點解？

f(x) > c
⇔ 存在某個 N ∈ ℕ, 令到 s_n (x) > a for all n ≥ N.

呢兩句都唔明

你計錯數
1. By definition of limit of sequence, there exists N such that
|s_n (x) - f(x)| < (f(x) - a) / 2 for all n ≥ N
拆absolute value 再移項得到
a < (f(x) + a) /2 < s_n (x) < something we dont care for all n ≥ N

2. Typo, 應該係 f(x) > a

Oh shit 手快快寫錯左d 野， 一陣改