[數學普及] Measure Theory (測度論) 簡介 ver. 2

[size=5][violet][u](if and only if 即係指之前果句同之後果句一係一齊岩, 一係一齊錯, almost everywhere 簡單黎講係總長度係 0)

當年prof講a.e.係唔符合statement嘅measure係0
咁我其實一直有個問題就係,係咪有啲function係continuous a.e. but discontinuous at some points

咦我打錯字
你岩

個腦同對手唔協調

Lm

Btw有冇得兩個version一齊出 想學深入少少d

Btw有冇得兩個version一齊出 想學深入少少d

兩個version d野一樣架

Lm支持

算啦，呢個題目好撚難，冇咩可能普及到

你肯定?

Lebesgue measure有picture過analysis好多

我覺得依個post應該會好睇過出面嗰個analysis post

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（呀我指二字頭三字教measure之前嗰堆

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你講d野咁矛盾ge

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你講d野咁矛盾ge

無野睇錯
但認真d exercise好甘

留名

我咁辣殺都明 一定普及到

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因爲未入戲肉

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因爲未入戲肉

加油 等睇戲肉

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因爲未入戲肉

加油 等睇戲肉

bio JJ都睇得明

2. Riemann Integral 的問題


[OT]
呢個post開始, 唔想影響內容, 有D小枝節的地方的證明會放係appendix, 亦都會盡量做得Mathematical d, 如果你對果D證明無咩興趣就take these facts for granted.
[/OT]

呢篇應該會深少少, 主要係first version 的延長版, 如果大家真係唔明的, 可以問, 我會盡力解釋比大家聽

一般黎講介紹 Lebesgue Integral (勒貝格積分) 之前都會數臭 Riemann Integral 有乜唔好有乜唔好, 最常見的問題有三:

(a) 積分的世界問題:

Riemann Integral 只對 [a, b] 咁ge樣的地方進行積分. 如果我想係D天馬行空的世界進行積分, Riemann Integral 就搞唔掂

諗番我地點搵個闊度先: 係斬完個interval之後, 大果點減細果點 (recall 返中學 coordinates geometry), 但係係痴線世界入面呢, 我地未必有距離呢個概念 (所以闊度係無意思的形容詞)
而點解要係天馬行空痴撚線世界度做積分? (如果有學過深少少的probability的朋友, 點計expectation (expected value)? )
所以要推廣的話, Riemann條橋就行唔通

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(b) Riemann Integral 處理唔到好多常用的 functions:

有好多常用的function係唔Riemann Integrable的, 其中一個常用例子係characteristic function of rational numbers:


我地要證明呢個function 唔係Riemann Integrable on [0, 1]. 首先要一個fact (有興趣睇appendix解說):
任何兩個唔同的real numbers x < y, 係中間可以搵到一個raional number, 亦都可以係中間搵到一個irrational number.

所以無論我地點斬都好, 係任何end points唔同的intervals上面:
最大的值都會係 1 (搵個rational)
最細的值都會係0 (搵個irrational)

計下就會發覺
Overestimate 永遠都係 1 (果D長方形高度都係1, 痴埋咪變左邊長係1的大正方形~)
Underestimate 永遠都係 0 (果D長方形個高永遠都係 0 呀~)
Overestimate - Underestimate 永遠都係 1

而家我限制 error 唔比大過 1/2...GGed

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(c) Limit 交換
(如果無學過 Elementary Analysis / Uniform Convergence (CU 2060, UST 2043/3033) 可以跳過呢個部份)


係Elementary Analysis入面, 將limit sign同integral sign交換的條件係 Uniform convergence
但係呢個條件強到仆街, 同埋 check 呢個條件真係 check到 2046
但係呢係Analysis (e.g. PDE) 入面又成日面對呢D野, 所以我地想的係, 如果得pointwise convergence的話 (呢樣易證好多, 好多時就咁take

limit) 我地有無一個相對容易D check的條件呢?

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Measure theory 可以解答到呢D問題
不過首先我地要知道 measure係乜先, 下次再講

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Appendix: 搵rational / irrational numbers

(sqrt{2} 係指 square root 2)

首先我地會用到兩個facts:
1. 如果 x > 0, 我地可以搵到一個positive integer n 令到 nx > 1
2. 任何 real number x, 我地搵到一個integer m 令到 m ≤ x < m + 1

第二個就好明顯啦, 寫做小數就ok
至於第一個, 簡單黎講係積少成多

rational number:
x < y 的話即係話 y - x > 0, by fact 1. 我地可以搵到positive integer n 令 n(y - x) > 1. 重組一下我地有:

nx + 1 < ny------------(*)

好啦, nx 係一個 real number 黎, by fact 2, 我地可以搵到個integer m令到

m ≤ nx < m + 1------------(**)

重組一下, 我地有

nx < m + 1 ≤ nx + 1 < ny

(第一個inequality係黎自 (**) 的右邊, 第二個inequality黎自 (**)的左邊, m ≤ nx 兩邊加1就可以, 第三個inequality係黎自(*))

成條式除左 n, 我地得到

x < (m + 1)/n < y

大功告成!

irrational number:
知道左rational number ok之後, 搵irrational就好易啦, 首先將x, y除以sqrt{2}, 就會有 x/sqrt{2} < y/sqrt{2}, 然後搵個rational number r落去, 再將條式乘返 sqrt{2},

x < sqrt{2} r < y

最後一步係證點解 \sqrt{2}r 係 irrational. (By contradiction) 如果佢係 rational 的話, 即假設 sqrt{2}r = q, q都係rational, square兩邊, 得到 2r^2 = q^2, 即係話 2 = (q/r)^2, 即係話 sqrt{2} = q/r or -q/r, 即係 sqrt{2} 係 rational, contradiction.

咪住先, 如果 r = 0 唔除得過去架喎
是咁的, 我地呢度可以揀 r 唔等於 0 的:
如果最初揀的r = 0, 我地有 0 < y/sqrt{2}, 咁我地搵個新 r 係 0 同 y/sqrt{2}之間囉

講得幾好笑

me仲睇得明

講得幾好笑

太dry d人會嚇走哂

留名

之前學stochastic calculus 之前掂過少少

留名

3. 咩係Measure?

好啦, 我地而家入正題, 我會開始越講越慢, 因爲D野越黎越難, 所以我會盡量講多D concrete 的例子等大家明白搞緊乜野

Intuitively speaking, Measure係一個計volume / area / length 的function. 例如你丟一個實心正方形, 佢會出番呢個正方形的面積

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(a) Measure 的 Output (Codomain)

Volume 當然唔可以係負數啦, 而且我地認知的volume都係non-negative numbers, 亦都可以無限大(諗下一條無限長的線有幾長?), 所以個codomain係non-negative real numbers同infinity

(數學上我地會咁寫 [0, +∞])

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(b) Measure 的特性

我地希望呢個function μ, 有番我地正常諗的volume的特性:
1. 無野 (數學上我地叫 empty set, 我地用 ∅ 呢個符號表示) 的volume 當然要係 0, 數學上我地寫做

μ(∅) = 0

2. 如果我地有一堆分開的圖形 ("分開"數學上我地叫 mutually disjoint, 即係任何兩個唔同圖形之間唔會有任何common point), 叫 E_1, E_2, ..., E_n, 我地計佢地的total volume 就咁加起佢就ok, 係數學上我地會咁寫:

μ(E_1 ∪ E_2 ∪ ... ∪ E_n) = μ(E_1) + μ(E_2) + ... + μ(E_n)

(E_1 意思係 E subscript 1)

E_1 ∪ E_2 ∪ ... ∪ E_n 的意係, 呢個大圖形係由 E_1, E_2, ..., E_n 放埋一齊, 我地叫呢個放圖形做 union of E_1, E_2, ..., E_n

例如 E_1 係咁的話,

E_2 係咁的話

咁 E_1 ∪ E_2 就係


而mutually disjoint 係類似咁的情況:

而呢個情況我地唔叫Mutually disjoint (個三角形同圓形有重疊的地方)


不過呢, 呢個好似唔係咁足夠喎, 我地都想貪心D, 例如

[0, 1] ∪ [1, 1 + 1/2] ∪ [2, 2 + 1/2^2] ∪ ...

都應該可以計到長度喎, 所以2. 果條式要變做咁:
2'. 如果 E_1, E_2, ..., E_n, ... 係一個 sequence of mutually disjoint 圖形, 我地都要有

μ(E_1 ∪ E_2 ∪ ... ∪ E_n ∪ ... ) = μ(E_1) +μ(E_2) + ... + μ(E_n) + ...

呢種性質我地叫 countable additivity

我地唔想罰抄同搞到D算式長到去羅馬 , 數學家就好懶咁整左兩個符號去表示呢堆好長的式:






上面2'. 就可以變成

係咪短好多呢

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(c) Measure 的 Input (Domain)

呢樣最難搞, 講得function, 我地都要聲明 input 係D乜野, 最理由係呀豬呀狗必撚野圖形都可以做 input 啦, 但係可惜, life is hard, 開講有話: "邊有八斤八両咁理想~~~", 我地會係不久的將來會證明 "係 real numbers 上面, 如果用我地平常的 length 去計的話, 我地有一個圖形係無法計算長度的" (呢度的無法計算係指即使我地格硬計個value比佢, 呢個圖形都唔會符合我地平常諗的 length 的特性)

所以數學家其中一樣野就係退而求其次, 諗下呢D可以計到volume的圖形應該要(保留到)咩特性 (呢個行爲係數學家做推廣果陣都要做, 就係取捨一D無咁重要的性質唔要, 保留一D我地最想要的性質)

所以我地保留呢幾個最重要的性質:
1. 無野要計到volume
2. 成個世界都要要計到 volume (就算係 infinity 都好)
3. 如果有一個圖形計到volume, 咁個世界拎走呢個圖形都要計到 volume (如果個圖形叫 E, 個世界叫 X, 拎走左 E 之後我地會寫做 X\E )
4. 如果我地有一個sequence of "可以計到volume的圖形", 咁佢地的 union 都應該要計到volume

呢一D "可以計到volume的圖形" 我地叫做 measurable sets (故名思義, 即係度到volume囉).
我地用A代表一堆圖形, 如果A滿足 1 - 4 的話我地叫 A 做 σ-algebra
(Probability 會叫 σ-field, 都係同一樣野)

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總結黎講, Measure 就係一個 function μ: A -> [0, +∞], 滿足
1. μ(∅) = 0
2. 如果 E_1, E_2, ..., E_n, ... 係一個sequence of disjoint 的 measurable sets, 則有 μ(U E_i) = \sum μ(E_i) (Countable additivity)

由於篇幅所限, 我將例子分開另一個post講

3a. Measure 的例子:

我地而家講下measure有咩例子, 有D例子好似好on9咁, 但係我希望大家都明measure係乜

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(a) Zero Measure



我唔理呀, 乜都係 0 volume 咪算

即係: 如果有個世界叫 X, 我覺得任何圖形都無 volume

而家個A就係所有圖形 (呢個特例我地叫 Power set of X, 寫做 P(X))

而個 μ 就係, 比我一個圖形 E, 我地都定義 μ(E) = 0

我地要答呢堆問題:
1. P(X) 係咪 σ-algebra? Yes!
(i) ∅ 係圖形的一種
(ii) 成個世界 X 都係圖形的一種
(iii) 如果 E 係一個圖形, X\E (X拎走E) 當然係圖形啦
(iv) 圖形拼埋咪又係圖形一個~

2. μ係咪measure? Yes!
(i) μ(∅) = 0? Yes! (乜野都係 0)
(ii) μ係咪 countable additive? Yes! (任你點加幾多個 0 都係 0 架啦, 完全係 0)

搞掂

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(b) Dirac Measure

同 (a) 同一個 setting, 然後係 X 上面揀定一定 x, 我地定義 μ做:
如果 x 係 E 的一點, μ(E) = 1
如果唔係, 就 μ(E) = 0

P(X) 我地check左係 σ-algebra. 我地check μ係咪measure:
(i) μ(∅) = 0? Yes! (既然無點, x當然唔係 ∅ 入面)
(ii) μ係咪 countable additive? Yes!
呢個複雜少少, given 一堆mutually disjoint的圖形 E_1, E_2, ..., E_n, ...,
(1) x 唔係呢堆圖形入面, 咁放哂係度都唔會有 x 呢點架啦, 自然有

(2) 如果 x 係其一一個E_i入面, 咁 x 就唔會係其他圖形入面, 所以呢
(第 i 個係 1)

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(c) 數野

假設我有三張牌, 我叫 R, G, B, 即係 X = {R, G, B} (個大括號係指有乜野係入面)

呢度的 σ-algebra 就係 "任何一疊牌", 即係 ∅, {R}, {G}, {B}, {R, G}, {R, B}, {G, B}, {R, G, B}
個 A 就係 {∅, {R}, {G}, {B}, {R, G}, {R, B}, {G, B}, {R, G, B}} (= P(X), 點解呢 )

如果given一疊牌 E, 我地定義
μ(E) = E 有幾多張牌 (數學上我地寫做 |E|, 叫 Cardinailty of E).

例如 μ({R, G}) = 2 (有兩張牌: R, G)

Check μ係咪measure:
(1) μ(∅) = 0 (因爲都無牌)
(2) 如果有堆一疊疊ge牌 E_1, E_2, ..., E_n, ... , 而且 mutually disjoint (即係任何兩疊牌都無重複的牌) 我地直接數下數下就知總牌數可以就咁加埋啦 (可以想像兩疊無重複的牌疊埋一齊, 咪就咁加埋D牌數咪算)

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(d) Counting Measure

由例子(c)我地可以望一個比較抽象的例子:

X 係一個任意世界, 如果 E 係 X 入面的一個圖形, 我地定義 E 的 "volume" 有幾多點, 即係
μ(E) = |E| (可以係無限架~)
咁 A 呢? 同 (a) 一樣, 就係 P(X)

而μ係measure, countable additivity果度就好似上面數牌咁慢慢數, 就無問題啦

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(e) Probability Measure

繼續用番例子(c), 但係今次我地將佢改做
μ(E) = P(E) (Probability getting a card that is in E)
例如 μ({R, G}) = P({R, G}) = Probability getting a card that is R or G

點解μ係measure? 留番比你地做功課啦~~~

而我地叫成個世界 volume 係 1 (即係μ(X) = 1) ge的 measure 做 probability measure

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下期會講下 measure 有咩 properties