[數學普及] Measure Theory (測度論) 簡介 ver. 2

d 野開始難架啦
希望大家仲睇得明

d 野開始難架啦
希望大家仲睇得明

明 等bio jj上水

唔明點解要普及Measure Theory 我覺得呢科勁離地
雖然好多野背後都用佢 但除左本身讀math會遇到
其他major基本上連影都唔會見

唔明點解要普及Measure Theory 我覺得呢科勁離地
雖然好多野背後都用佢 但除左本身讀math會遇到
其他major基本上連影都唔會見

話畀你聽probability 0嘅野都有可能發生?

唔洗用 Measure Theory都可以解釋到吧

d 野開始難架啦
希望大家仲睇得明

明 等bio jj上水

考完試翻嚟睇 而家要留翻啲腦細胞考試

唔明點解要普及Measure Theory 我覺得呢科勁離地
雖然好多野背後都用佢 但除左本身讀math會遇到
其他major基本上連影都唔會見

話畀你聽probability 0嘅野都有可能發生?

唔洗用 Measure Theory都可以解釋到吧

咩叫conditional expectation?

唔明點解要普及Measure Theory 我覺得呢科勁離地
雖然好多野背後都用佢 但除左本身讀math會遇到
其他major基本上連影都唔會見

話畀你聽probability 0嘅野都有可能發生?

唔洗用 Measure Theory都可以解釋到吧

不過單純講呢件事好似唔係咁practical,都係留返係math domain既context先有用

好多時大家9fing左無驗係咪真係得
同埋d咩geometry, number theory 坊間應該有好多，但無乜analysis

仲睇得明

仲睇得明

D 例子 ok?

唔明點解要普及Measure Theory 我覺得呢科勁離地
雖然好多野背後都用佢 但除左本身讀math會遇到
其他major基本上連影都唔會見

話畀你聽probability 0嘅野都有可能發生?

唔洗用 Measure Theory都可以解釋到吧

咩叫conditional expectation?

所謂conditional 就係講緊sample space發生改變

唔明點解要普及Measure Theory 我覺得呢科勁離地
雖然好多野背後都用佢 但除左本身讀math會遇到
其他major基本上連影都唔會見

話畀你聽probability 0嘅野都有可能發生?

唔洗用 Measure Theory都可以解釋到吧

咩叫conditional expectation?

所謂conditional 就係講緊sample space發生改變

但係可以點講?

唔明點解要普及Measure Theory 我覺得呢科勁離地
雖然好多野背後都用佢 但除左本身讀math會遇到
其他major基本上連影都唔會見

Stat都會用到吧
Stat要識calculus, linear algebra, discrete math 同analysis

唔明點解要普及Measure Theory 我覺得呢科勁離地
雖然好多野背後都用佢 但除左本身讀math會遇到
其他major基本上連影都唔會見

Stat都會用到吧
Stat要識calculus, linear algebra, discrete math 同analysis

linear algebra 應該無乜邊科要掂數的野唔駛識

唔明點解要普及Measure Theory 我覺得呢科勁離地
雖然好多野背後都用佢 但除左本身讀math會遇到
其他major基本上連影都唔會見

Stat都會用到吧
Stat要識calculus, linear algebra, discrete math 同analysis

linear algebra 應該無乜邊科要掂數的野唔駛識

不過我考得好差

唔明點解要普及Measure Theory 我覺得呢科勁離地
雖然好多野背後都用佢 但除左本身讀math會遇到
其他major基本上連影都唔會見

Stat都會用到吧
Stat要識calculus, linear algebra, discrete math 同analysis

linear algebra 應該無乜邊科要掂數的野唔駛識

不過我考得好差

不過唔同field 要識的 linear algebra 又唔係完全一樣

4.1. Measure 的特性 (I)

呢個post會開始出現Theorems

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係開始之前, 爲左方便繼續講落去, 我會介紹多兩個符號同術語 (學過 set theory 可以飛)

1. Intersection
E, F 係兩個圖形 (sets), E ∩ F 即係收集 E 同 F 的所有 common points, 即係咁:
如果E係呢個圓形

F係呢個長方形

E ∩ F就會係呢pat野


我地叫 E \cap F 做 E 同 F 的 intersection.

如果好多好多個 sets 的 intersection, 即係果堆點係呢堆 sets 的 common points.

2. Complement
如果 E, F 係隨便兩個 sets, E\F 即係係 E 度拎走屬於 F 的野, 用返上面的E, F, 即係咁:

我地叫 E\F 做 E complement F

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而家我地短短咁一齊睇下 measure 有咩好的特性:

係呢個 post 入面, 如無聲明, 所有 E, F 都係 measurable sets.

(a) Finite Additivity

如果我地知道 E_1, ..., E_n 係 mutually disjoint 的 measurable sets, 咁佢地的union係咪measurable同埋個union的measure可唔可以就咁加埋? 當然可以 (點解佢地的union係measurable?)
我地設 E_{n+1}, E_{n+2}, ... 全部都係 empty set 就搞掂啦 (empty set 同任何 set 都 disjoint), 即係:


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(b) Monotonicity

我地知道如果如果 E 的點都係 F 入面的點 (我地叫 E 係 F 的 subset, 我地會寫 E ⊆ F) 即係咁樣


咁 E 的volume應該要細過 F ge volume. Measure 亦都符合呢個特性:

μ(E) ≤ μ(F)

呢度我地可以用一個係measure theory幾常用的technique解決: 將 F 拆開兩份: E 同埋 F\E: 睇下圖:


所以

μ(E) ≤ μ(E) + μ(F\E) = μ(F)

由個proof 入面個equality引申的結果: 如果我地再假設 E 的 measure 係 finite (即係一個數字) 的話, 我地可以減, 即係:

μ(F\E) = μ(F) - μ(E)

大家要開始學點學數, 其中一個就係, 點解我需要某個假設 (即係問如果無左某個假設個結論會fail), 同邊度用左個假設, 係呢度, 即係問:
點解 m(E) 唔可以係無限先? Hint: 如果 m(E) 係無限, 用monotonicity, m(F)係幾多? 如果代番落呢條式度會點?

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(c) Countable Subadditivity
而家唔一定disjoint啦, 大家都明白就咁加會重複左D野, 返返去小學雞數野, 我地有傳說中的 inclusion-exclusion principle:

|X U Y| = |X| + |Y| - |X ∩ Y|

(即係數野果陣我地要減番重複左的野)

所以同樣道理, 呢樣野都適用於measure, 不過我地可以再強 D:


證明我地用呢條邪惡的橋 (都幾常用下):


我呢度畫幅示意圖

E_1 係圓形, E_2 係長方形, E_3 係菱形



用左呢條橋呢, 我地就有:

1. and for any n
2. F_n都mutually disjoint
3. F_n ⊆ E_n (係 E_n 度拎走左 D 野, 咁剩返D野梗係係 E_n)

如果閣下係 Math major, 請自己證明以上三樣野 , 所以我地可以用番 countable additivity啦

(最尾個inequality係monotonicity)
搞掂!

呢個update我有強烈預感會出事 , 大家有問題就問啦

呢個update我有強烈預感會出事 , 大家有問題就問啦

已出事
睇咗兩次先明