[數學普及] Measure Theory (測度論) 簡介 ver. 2

Q: 點解唔會出現 infinity - infinity?

因爲唔會同時係positive part 同 negative part?

最後定義

所以 s_n 都係 simple.
而 by construction, 0 ≤ f(x) - s_n(x) ≤ 1/2^n for any x ∈ X.

why 1/2^n but not M/2^n ?

咁 f unbounded 點做呢? Given一個positive integer n, 我地定義

然後 f_n 都係 bounded, 而且都係measurable (點解呢? 諗下呢個set係咩樣? 如果大家都唔明的話我可以再講解下))

f_n^-1 (a, inf] = f^-1 (a, inf] ?

1. Yes
2. Oh Typo 證明你有細心睇 thanks a lot
3. 差少少，記得分case (呢科經常要分case)

3. when a > n, should be empty set?

Q: 點解唔會出現 infinity - infinity?

因爲唔會同時係positive part 同 negative part?

最後定義

所以 s_n 都係 simple.
而 by construction, 0 ≤ f(x) - s_n(x) ≤ 1/2^n for any x ∈ X.

why 1/2^n but not M/2^n ?

咁 f unbounded 點做呢? Given一個positive integer n, 我地定義

然後 f_n 都係 bounded, 而且都係measurable (點解呢? 諗下呢個set係咩樣? 如果大家都唔明的話我可以再講解下))

f_n^-1 (a, inf] = f^-1 (a, inf] ?

1. Yes
2. Oh Typo 證明你有細心睇 thanks a lot
3. 差少少，記得分case (呢科經常要分case)

3. when a > n, should be empty set?

Should be greater or equal to

其實係咪已經無人睇呢個post
考慮緊再hand waving 多d

其實係咪已經無人睇呢個post
考慮緊再hand waving 多d

其實係咪已經無人睇呢個post
考慮緊再hand waving 多d

或者咁啦, 之後每個new post 都分兩部份, 頭半係比所有人睇, 所以幾乎無proof 即者講下條定理的圖畫
第二部份係專比有數底的人睇 (大學Calculus I & II), 咁樣大家就可以各取所需, 淨係想知 measure theory idea的淨係睇頭半, 想知details的睇埋後半
好似咁樣好D?

其實係咪已經無人睇呢個post
考慮緊再hand waving 多d

無 latex 有啲算式睇得比較吃力

其實係咪已經無人睇呢個post
考慮緊再hand waving 多d

無 latex 有啲算式睇得比較吃力

我而家整緊個blog, 一來有得改, 二來show latex易D

其實係咪已經無人睇呢個post
考慮緊再hand waving 多d

無 latex 有啲算式睇得比較吃力

我而家整緊個blog, 一來有得改, 二來show latex易D

留名支持

利申 以前無讀過 analysis 就讀 measure theory (其實係所謂嘅 advance probability) 完全唔知佢up乜

其實係咪已經無人睇呢個post
考慮緊再hand waving 多d

無 latex 有啲算式睇得比較吃力

我而家整緊個blog, 一來有得改, 二來show latex易D

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利申 以前無讀過 analysis 就讀 measure theory (其實係所謂嘅 advance probability) 完全唔知佢up乜

而家我覺得太數, 無讀過下數唔會知我講緊乜
同埋大家都好似kick kick地, 我又要執blog, 所以停一排先再出post

其實係咪已經無人睇呢個post
考慮緊再hand waving 多d

無 latex 有啲算式睇得比較吃力

我而家整緊個blog, 一來有得改, 二來show latex易D

留名支持

利申 以前無讀過 analysis 就讀 measure theory (其實係所謂嘅 advance probability) 完全唔知佢up乜

而家我覺得太數, 無讀過下數唔會知我講緊乜
同埋大家都好似kick kick地, 我又要執blog, 所以停一排先再出post

pish

諗左幾諗, 之後果D好難用非數學語言表達, 同埋本身行文比較深, 唔再叫數普啦, 直接叫測度論介紹算啦

諗左幾諗, 之後果D好難用非數學語言表達, 同埋本身行文比較深, 唔再叫數普啦, 直接叫測度論介紹算啦

如果真係要講到重點的話好難避開 set notion
如果幾乎唔用 set notion 的話其實講個積分打橫切就完左

諗左幾諗, 之後果D好難用非數學語言表達, 同埋本身行文比較深, 唔再叫數普啦, 直接叫測度論介紹算啦

如果真係要講到重點的話好難避開 set notion
如果幾乎唔用 set notion 的話其實講個積分打橫切就完左

set notation 上面都提咗咁多，唔差在

數學底唔多的人會死哂, 所以分 version A (less math, nearly without proofs) 同 version B (more math, including proofs)
version A 貼係度, 有興趣睇proof的去個blog睇version B 應該好D?

離開左大學數幾年
好多已經得返印象
當年個某course做到半題已b+ 好似係

離開左大學數幾年
好多已經得返印象
當年個某course做到半題已b+ 好似係

題外話 1: 咩係 Hausdorff Dimension (I)

成日聽到D人話咩 4D 電影, 又話唔係幾十維空間, 咁究竟係乜野黎?

對維度的最簡單講法係, 你需要用最少幾多個 variables 去表達個 object
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例如一條直線, 我地可以用一個 variable 去表示:
例如係平面上面的一條直線, 例如

y = 2x + 1

所以當我地知道 x 的數值的時候, 就知道 y 的數值, 用座標黎睇的話, 我地知道線上面的任何一點都會係呢個樣的野:

(x, 2x + 1)

所以我地只需要一個variable (即係 x) 就可以表達哂成條線

如果學過vector 的朋友知道可以寫做

(0, 1) + x(1, 2)

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一個實心, 圓心係origin (即係coordinates (0, 0)果點), 半徑係 1 的圓形係二維, 因爲個圓形上面的任何一點都可以用 polar form 表示:

(r, θ)

r 係同 origin 的距離, θ 係角度

Source: Wolfram Mathworld
我地需要兩個variables表達, 所以實心圓形係二維的物體

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所以D咩十幾維只係講緊需要十幾個variables去表達舊物件係乜, 而我地的眼最多只可以望到三維的物件

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下一篇會講咩係 Hausdorff Dimension

題外話 2: 咩係 Hausdorff Dimension (II)

[size=6]密集圖案出沒注意[/size=5]

而家我地將呢個原本的 Dimension 的概念推廣, 但係點解要推廣呢? 其中一個原因係我地要研究一D好爛好噁心的圖形 , 例如 Sierpinski Triangle (其實算靚)

(Source: Wikipedia)

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Sierpinski Triangle 的 total area 係 0:

製造 Sierpinski Triangle 的方法 (如下圖):
1. 畫一個邊長係一的等邊三角形
2. 好似下圖咁分成四等份, 之後拎走正中間果份
3. 對剩低的三個細三角形重複1, 2
4. 不斷重複

(Source: Wikipedia)

我地計下每次拎走幾多area: 方便起見, 我地用 A 黎表示原本邊長係一的等邊三角形的面積

首先我地計計每一次拎走左一堆三角形之後有幾多細三角形:
因爲我地每次都將大D的三角形割成四個細三角形, 拎走中間果個, 就剩低三個細三角形, 但係我地要對所有大三角形都咁做, 所以:
拎第一次之後: 3個
拎第二次之後: 3*3 = 9個
拎第三次之後: 9*3 = 27個
拎隆N次之後: 3^N 個

而家就計每次拎走幾多面積的三角形:
第一次就拎走左: A/4 (分成四等份之後拎走一份)
第二次就拎走左: (細三角形的面積係原來的1/4, 再分成四份, 所以再細D的三角形面積係 (1/4)*(1/4) = 1/16, 而總共有三個細三角形, 所以乘3)
第三次就拎走左:
第N次就拎走左:
所以我地總共攞走左

換言之Sierpinski Triangle 面積係:

A - A = 0

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咁大家都估啦, 呢個Sierpinski Triangle既然無面積啦, 咁佢應該係一維的object啦, 但係佢同身爲一維object的直線又好唔同喎:

將一條線段放大兩倍, 我地拎到兩倍長的線段 (即係將兩條一樣長的線駁埋一齊)
但係將個 Sierpinski Triangle 放大兩倍我地拎到的唔係兩個 Sierpinski Triangles, 而係三個


所以話 Sierpinski Triangle 係一維的object好似唔make sense, 但係話佢係二維都好似唔make sense

於是數學家 痕玩一個叫 Hausdorff Dimension的野
而Sierpinski Triangle 的 Hausdorff Dimension 係 log 3 / log 2
下次會計比大家睇

Remark. log 3 / log 2 大約等於 1.5849625

你唔係諗住講hausdorff measure下話