[數學普及] Measure Theory (測度論) 簡介 ver. 2

Measure Theory (測度論) 簡介 ver. 2

首先道個歉, 因爲最初篇文掌握唔到點寫搞到1999. 嚇親好多人, 係徵詢過多位專業人士意見之後, 決定從新開post

而家重新寫過, 希望易D令大家明白, 之前睇開舊post ge 可以睇呢個post

話說某校某科required course有呢個題目, D人做到嘔白泡 傳聞考試做到呢個課題的一題題目可以坐B+望A-
仲有呢科野題目古靈精怪, 搞到好多人叫救命, 毛蟲入手
但其實要明個concept唔太難, non major都可以略懂一二, 而且測度論係打開高等分析的大門, 例如偏微分方程, 調和分析, 動力系統, 概率, 幾何測度論, 甚至連algebra 都會有佢的影子 (Haar measure))
而呢科亦都係大部份大學數學博士的Qualifying Examination (要過左先有得繼續讀博士) 必考的課題, 可想而知呢個學科幾咁重要

用最簡單的語言講, 測度論有班數學家痕, 將我地認知的長度面積體積推廣到就咁一個set.

最簡單的係求一個function 的graph底下的面積, 學過或者聽過calculus的會知道就咁做一個積分就可以, 所以正常人會問做乜野仲要搞咁多野, 係咪真係痕.

其實唔係, 係我地望點解要做呢個推廣之前, 重溫一下中學雞的積分係乜野, 然後我地望下究竟有咩問題, 之後就會講測度論係乜同埋點解決呢堆問題, 最後會講下D應用同埋簡單下一D由測度論引申的重要課題

1. 咩係Riemann Integral (黎曼積分)?

Riemann Integral 即係大家中學學的 Integration. Integration 簡單黎講係求係個graph下面的面積, 而RIemann Integral 求呢個面積的方法就係用長方形黎估算

例如f 個graph係咁樣

想搵area under佢個graph on interval [-1, 1] (即係 -1 ≤ x ≤ 1), 我地將[-1, 1]分開細D的線段, 例如斬開平均四份, 我地可以利用長方形 overestimate 同 underestimate 個面積 (長方形面積係長乘闊):

Overestimate: 揀係呢個線段上面最高果點, 呢個當做高, 然後乘返個闊, 每個subinterval都咁做


Underestimate: 同上面一樣, 不過我地揀最低果點


我地唔一定要平均分配, 可以亂咁斬, 唔需要個個長度一樣 (但要有限個), 例如:


(藍色係underestimate, 藍色+灰色係overestimate)

如果比任意的error (positive number), 我地都可以搵到一個斬法可以令到 overestimate同underestimate 個差距細過呢個error的話, 我地叫呢個function Riemann integrable on [a, b] . 而個area係最細的overestimate (= 最大的underestimate) 以上個case我地會話 f 係 Riemann integrable on [-1, 1]

而呢個common value我地會寫做


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唔識 M1/M2 Calculus可以skip左呢part先

而fundamental theorem of calculus係一個好powerful的工具去計個面積 :
1. 如果 F'(x) = f(x), 而且f Riemann integrable on [a, b], 我地有
2. 如果 f(x) 係 continuous on [a, b] 的話, 設, 我地有

究竟乜野function係Riemann integrable呢? 上過Elementary Analysis (CU 2060, UST 2033/2043) 我地有呢條criterion:
Let f: [a, b] -> R is a bounded funtion. Then f is Riemann integrable on [a, b] if and only if f is continuous almost everywhere.
(if and only if 即係指之前果句同之後果句一係一齊岩, 一係一齊錯, almost everywhere 簡單黎講係總長度係 0)

關於Riemann Integral 的詳細資訊請參考Edelschwarz果個post (雖然唔知佢幾時會寫到)
https://lihkg.com/thread/486199/page/1

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下篇講 Riemann Integral 的局限性

用長方形estimate長方形area 係咪同trapezium rule 有D 相似？

用長方形estimate長方形area 係咪同trapezium rule 有D 相似？

trapezoidal rule 係其中一個estimate area under the graph of function的方法

用長方形estimate長方形area 係咪同trapezium rule 有D 相似？

trapezoidal rule 係其中一個estimate area under the graph of function的方法

如果個function係Riemann Integrable的話只要你斬得足夠細緻的話用長方形定梯形個數值都會差唔多, 不過如果你用好少位黎estimate一般trapezoidal rule會準D

呢D應該去到numerical analysis果邊, 我唔太熟lu

[size=5][violet][u](if and only if 即係指之前果句同之後果句一係一齊岩, 一係一齊錯, almost everywhere 簡單黎講係總長度係 0)

當年prof講a.e.係唔符合statement嘅measure係0
咁我其實一直有個問題就係,係咪有啲function係continuous a.e. but discontinuous at some points

算啦，呢個題目好撚難，冇咩可能普及到

算啦，呢個題目好撚難，冇咩可能普及到

你肯定?

[size=5][violet][u](if and only if 即係指之前果句同之後果句一係一齊岩, 一係一齊錯, almost everywhere 簡單黎講係總長度係 0)

當年prof講a.e.係唔符合statement嘅measure係0
咁我其實一直有個問題就係,係咪有啲function係continuous a.e. but discontinuous at some points

f(x) = 0 when x =/=0
f(0) = 1 應該係最簡單的 example

想fansy d 的可以睇 popcorn function

呢個function continuous on irrational, and continuous on rationals (rational numbers 總長度係 0, 之後我會證)

算啦，呢個題目好撚難，冇咩可能普及到

你肯定?

prerequisite knowledge似乎有啲多
我之前其實都有諗過開post講Galois theory，但係真係諗唔到方法

算啦，呢個題目好撚難，冇咩可能普及到

你肯定?

prerequisite knowledge似乎有啲多
我之前其實都有諗過開post講Galois theory，但係真係諗唔到方法

1a. 計算Riemann Integral的例子

而家我地比兩個簡單計算Riemann Integral的例子:

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(a) f(x) = x



我地而家證明 f 係Riemann integrable on [0, 1], 而且

首先將 [0, 1] 分開 n 等份, 即係每一份都係 咁樣的野 (i = 0, ..., n - 1)
睇幅graph知道 f 係 [i/n, (i+1)/n] 最大果點係 (i+1)/n, 最細果點係 i/n (f 一直上升緊)
所以 Overestimate

Underestimate


(recall番 dse AS 個總和係 (頭+尾)x項數/2)

所以 Overestimate - Underestimate = 1/n
所以比一個error e > 0, 我地都可以搵到一個好大的N, 令到 1/N < e.

你可以試下諗下, n越大, 1/n越細, 而且 1/10^k = 0.0....1 (總共 k 個 0), 咁當然 n 好撚大果陣, 1/n 就好細啦

所以 f Riemann integrable on [0, 1], 個積分呢? 咁我地望望 overestimate 最細可以去到幾多, overestimate = 1/2 + 1/2n. 既然 n 好大果陣 1/2n 好細, 大家都同意 overestimate 最細可能達到 1/2

所以 啦
而呢個數字亦都同我地用小學雞方法計三角形面積相等 (底乘高除2), 又或者學左calculus的朋友可以用fundamental theorem of calculus計一次

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(b) f(x) = x^2



呢個 example 難 dd, 不過我地可以用同一個方法解決, 而且我地會計埋

睇幅graph知道 f 係 [i/n, (i+1)/n] 最大果點係 [(i+1)/n]^2, 最細果點係 [i/n]^2
所以 Overestimate

Underestimate


係呢度我用左條神奇公式
1^2 + 2^2 + ... + n^2 = (1/6) n (n + 1) (2n + 1)
(想睇證明睇最尾)

所以 Overestimate - Underestimate = 1/n (真係純粹巧合)
用番 (a) 果個做法, 我地知道 x^2 係 Riemann integrable on [0, 1], 而且overestimate最細可能達到 1/3, 所以

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Appendix: 神奇公式證明

我地先設 S = 1 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2

我地由 DSE AS 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1)/2 開始
核爆計到: (n + 1)^3 = n^3 + 3n^2 + 3n + 1
所以呢
(n + 1)^3 - .......n^3 = 3n^2 ........+ 3n ........+ 1
........n^3 - (n - 1)^3 = 3(n - 1)^2 + 3(n - 1) + 1
(n - 1)^3 - (n - 2)^3 = 3(n - 2)^2 + 3(n - 2) + 1
...
(1 + 1)^3 - ........1^3 = 3(1^2) ......+ 3(1) .....+ 1
我地將全部式加起哂佢, LHS係
[(n + 1)^3 - n^3] + [n^3 - (n - 1)^3] + ... + [2^3 - 1^3] = (n + 1)^3 - 1^3
RHS 我地有
3(1^2 + 2^2 + ... + n^2) + 3(1 + 2 + ... + n) + n = 3S + 3[n(n+1)/2] + n
所以我地有
(n + 1)^3 - 1^3 = 3S + 3[n(n+1)/2] + n
移項得到
S = (1/3) [(n + 1)^3 - 1 - (3/2)n(n + 1) - n] = (1/6) n (n + 1)(2n + 1)

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[size=5][violet][u](if and only if 即係指之前果句同之後果句一係一齊岩, 一係一齊錯, almost everywhere 簡單黎講係總長度係 0)

當年prof講a.e.係唔符合statement嘅measure係0
咁我其實一直有個問題就係,係咪有啲function係continuous a.e. but discontinuous at some points

咦我打錯字
你岩

btw 如果仲係太難出聲, 我會諗辦法再整淺D

仲明

今次易明好多

今次睇得明
上次真係唔知你講緊咩

今次睇得明
上次真係唔知你講緊咩

對唔住大家, 第一次寫比layman睇掌握唔到點寫

留名學野

[size=5][violet][u](if and only if 即係指之前果句同之後果句一係一齊岩, 一係一齊錯, almost everywhere 簡單黎講係總長度係 0)

當年prof講a.e.係唔符合statement嘅measure係0
咁我其實一直有個問題就係,係咪有啲function係continuous a.e. but discontinuous at some points

咦我打錯字
你岩