機率題：飛機座位

假設有兩個人 兩個位

唔好意思，其實你解釋未係好清楚

我試下再淺白清晰d表達

設f(x)為 有x個人，第一個人沒有對的位置，只能亂坐，剩下的人有對位則坐對位，無則亂坐，最終導致最後一個人坐對位的概率

當n=1，總數得1個人

m=1
第1個人要隨機坐，得一個位，f(1) 必然等於1，因為必然揀到1號位

當n=2，總數有2個人

第1個人要隨機坐，可以選擇1號/2號位，機率各為1/2
第2個人可以坐到2號位嘅機率係：
機率 of（第1個人揀到1號位，剩低1個位必然可以選擇2號位）+ 機率 of（第1個人揀到2號位，剩低1個位必然不可以選擇2號位）
= 1/2 * 1 + 1/2 * 0 = 1/2

當n=3，總數有3個人

第1個人要隨機坐，可以選擇1/2/3號位，機率各為1/3
當第1個人揀岩位坐，後面嘅人必然揀岩
當第1個人揀錯位坐，而非揀最尾位置，剩下座位情況會變為n=2情況

假設有 1, 2, 3三個座位，第一個人選擇左2號位，剩低 1, 3座位選擇
2號要隨機選擇呢兩個座位：

如果揀1（或者換句話講，揀左隨機選擇左座位嘅人嘅原本座位，即係填返人地個位），咁3號仔就揀到3
如果揀3，咁3號仔就唔揀到3
呢個subcase嘅情況同n=2一樣，所以機率等於f(2)

當第1個人揀錯位坐，而揀最尾位置，3號仔必不能坐到3號位
綜合3個情況，機率係 1/3 * 必然坐岩 + 1/3 * f(2) + 1/3 * (必不坐岩)
= 1/3 * (1 + f(2) + 0) = 1/3 * (1 + 1/2 + 0) = 1/2

當n=4，總共有4個人

首先，第一個人揀中1號位同最尾位置導致4號仔坐到4號位嘅機率都係同上面一樣，都係1同0
剩下情況分為：
1. 第一個揀2號位

呢個情況即係2,3,4號仔需要隨機分配1,3,4號位
4號仔揀到4號位嘅機率= f(3)
雖然2號仔無得揀2號但如果2號揀左1，即係揀左隨機選擇左座位嘅人嘅原本座位，即係填返人地個位，咁隨機換位嘅loop就會完結，之後所有人都會坐岩位

2. 第一個揀3號位

2號仔必然揀岩位，剩底3,4嘅時候先要隨機揀，所以4號仔揀到4號位嘅機率 等於 f(2)

所以f(4) = 1/4 * (1 + f(3) + f(2) + 0) = 1/4 * (1 + 1/2 + 1/2 + 0) = 1/2

中間嘅加數可能有d亂，但情況係咁：
1 _ _ _ _ k _ _ _ _ _ _ n
假設1號仔坐係k號，咁k號之前嘅人都唔會被影響到，而k號仔比人坐左個位引發嘅後果就係 k至n嘅人可能需要隨機坐，咁個問題就會reduce到去 n-k個人隨機坐

問題：

1. 如果你是最後一位登機的乘客，你能坐到自己指定座位的機率是多少？
1/2

2. 如果你是第 999 位登機的乘客，你能坐到自己指定座位的機率是多少？
2/3

因為個問題係”如果你是第 999 位登機的乘客”，即係無論咩情況，喺你上機嘅時候，點都係得返兩個位剩。所以個概率淨係1.第一位乘客坐啱(喺之前998次其中一次)/2.坐錯你個位/3.坐咗第1000位乘客個位

如果個問題係第一位乘客喺第999位登機時，坐錯咗佢個位嘅機率，咁就變到超級複雜

冇帶機票果個第999位登機都複雜

提供另一個角度，用Combination (nCr)方法:

總共x個人當中，
有0個人坐錯位組合 = 第一個人坐對位，其他人全部坐對位
= 1 = (x-1)C(0)

有2個人坐錯位組合 = 第一個人坐錯位，與剩下x-1個人當中1個人對調位置
= (x-1)C(1)

有3個人坐錯位組合 = 第一個人坐錯位，與剩下x-1個人當中2個人互相坐錯位
= (x-1)C(2)

…

有x個人坐錯位組合 = 第一個人坐到第二個人位置，第二個人坐到第三個人位置，如此類推
= 1 = (x-1)C(x-1)

全部組合 = (x-1)C(0) + (x-1)C(1) + … + (x-1)C(x-2) + (x-1)C(x-1)

總共x個人當中，
有2個人坐錯位，而且最後一人坐錯位的組合 = 除了第一個和最後一個坐錯位，中間x-2個人無人坐錯位組合
= 1 = (x-2)C(0)

有3個人坐錯位，而且最後一人坐錯位的組合 = 除了第一個和最後一個坐錯位，中間x-2個人有1個人坐錯位組合
= (x-2)C(1)

…

有x個人坐錯位，而且最後一人坐錯位的組合 = 除了第一個和最後一個坐錯位，中間x-2個人有x-2個人坐錯位組合
= (x-2)C(x-2)

最後一人坐錯位的全部組合 = (x-2)C(0) + (x-2)C(1) + … + (x-2)C(x-3) + (x-2)C(x-2)

最後一人坐對位概率
= 1 - (最後一人坐錯位的全部組合 / 全部組合)
= 1 - [(x-2)C(0) + (x-2)C(1) + … + (x-2)C(x-3) + (x-2)C(x-2)] / [(x-1)C(0) + (x-1)C(1) + … + (x-1)C(x-2) + (x-1)C(x-1)]
= 1 - 1/2
= 1/2

化簡公式: nCr + nC(r+1) = (n+1)C(r+1)

冇簡單d喎

但每種combination概率並非均等，只是對於最後一人剛好對稱。

多個思考角度姐

999！/1000！

詳細解答：

問題1：

目標：計算最後一位乘客（第 1000 位）能坐到自己指定座位（座位 1000）的機率。

分析：

我們需要考慮整個登機過程中的座位佔用情況，特別是座位 1 和座位 1000 的佔用情況。

步驟1：理解關鍵影響因素

• 第 1 位乘客的選擇對整個過程有決定性影響，因為他遺失了機票並隨機選擇座位。
• 第 1 位乘客選擇的座位可能是 1 到 1000 之間的任何一個座位，每個座位被選中的機率是 \( \dfrac{1}{1000} \)。

步驟2：考慮座位 1 和座位 1000 的影響

• 如果第 1 位乘客坐在座位 1：
• 那麼他就坐在自己的指定座位上。
• 所有後續乘客都能順利坐到自己的指定座位，包含最後一位乘客。
• 結果：最後一位乘客一定能坐到自己的座位。
• 如果第 1 位乘客坐在座位 1000：
• 那麼他佔用了最後一位乘客的指定座位。
• 當最後一位乘客登機時，座位 1000 已被佔用，他必須在剩下的唯一一個空位上就座（座位 1 或其他）。
• 結果：最後一位乘客無法坐到自己的座位。
• 如果第 1 位乘客坐在其他座位（2 到 999 之間）：
• 這會造成一連串的座位佔用和選擇，但最終結果取決於座位 1 和座位 1000 何時被佔用。

步驟3：建立遞歸關係

我們可以將問題一般化，考慮每次有人需要隨機選擇座位的情況。

• 當某位乘客發現自己的座位被佔用時，他需要隨機選擇一個未被佔用的座位。
• 這個過程一直持續，直到座位 1 或座位 1000 被再次佔用。

步驟4：簡化問題

• 最終，座位 1 和座位 1000 中的某一個會先被佔用。
• 第一個被佔用的座位（座位 1 或座位 1000）決定了最後一位乘客的結果。
• **如果座位 1 先被佔用：**最後一位乘客可以坐到自己的座位（座位 1000）。
• **如果座位 1000 先被佔用：**最後一位乘客無法坐到自己的座位。

步驟5：計算機率

• 座位 1 和座位 1000 被先佔用的機率相等。
• 因為在每次隨機選擇時，未被佔用的座位中，座位 1 和座位 1000 被選中的機率是相同的。

結論：

• 最後一位乘客坐到自己指定座位的機率是 \( \dfrac{1}{2} \)。

問題2：

目標：計算第 999 位乘客能坐到自己指定座位（座位 999）的機率。

分析：

這個問題與問題1類似，但我們需要考慮的是第 999 位乘客的情況。

步驟1：理解關鍵影響因素

• 第 1 位乘客的選擇仍然是決定性因素。
• 座位 1、座位 999 和座位 1000的佔用情況對第 999 位乘客有直接影響。

步驟2：考慮可能的情況

• 如果座位 1 先被佔用：
• 第 999 位乘客的指定座位（座位 999）在他登機前可能未被佔用。
• 第 999 位乘客可以坐到自己的座位。
• 如果座位 999 先被佔用：
• 第 999 位乘客無法坐到自己的座位，必須隨機選擇其他座位。
• 如果座位 1000 先被佔用：
• 這對第 999 位乘客沒有直接影響，因為他的指定座位仍然可能未被佔用。

步驟3：建立遞歸關係

• 我們可以將問題視為一個縮小版的問題，將第 1 位乘客的隨機選擇過程一直遞歸到第 999 位乘客。

步驟4：簡化問題

• 最終，第 1 位乘客的隨機選擇會導致座位 1 或座位 999 被先佔用。
• 座位 1 和座位 999 被先佔用的機率相等。

步驟5：計算機率

• 如果座位 1 先被佔用：
• 第 999 位乘客可以坐到自己的座位。
• 機率為 \( \dfrac{1}{2} \)。
• 如果座位 999 先被佔用：
• 第 999 位乘客無法坐到自己的座位。
• 機率為 \( \dfrac{1}{2} \)。

結論：

• 第 999 位乘客坐到自己指定座位的機率是 \( \dfrac{1}{2} \)。

總結：

1. 最後一位乘客（第 1000 位）坐到自己指定座位的機率是 \( \dfrac{1}{2} \)。
2. 第 999 位乘客坐到自己指定座位的機率也是 \( \dfrac{1}{2} \)。

進一步的說明：

• 為什麼問題的答案都是 \( \dfrac{1}{2} \)？
• 這是因為在登機過程中，座位 1 和目標座位（對於問題1是座位 1000，對於問題2是座位 999）被先佔用的機率相等。
• 這兩個座位被先佔用的順序決定了最後乘客是否能坐到自己的座位。
• 這種結果與乘客總數無關，只取決於座位的先後佔用順序。
• 這是一個經典的概率問題，結果常常讓人感到驚訝，但透過詳細分析，可以理解背後的原因。

希望這個詳細的解釋能夠幫助你理解問題的答案。

三個人scenario
P(第3位坐到自己位)=
P(1st person pick the right seat)=1/3

P(1st person pick the wrong seat, and picking the 2nd person seat, and the 2nd person picking the 1st person seat) = 1/3 *1/2=1/6

Other scenario will result in the 3rd person unable to picking his right seat, and the P is 0

Therefore, p(3rd person picking the right seat for himself)= 1/3+1/6=1/2