[9up數學] 五次方程沒有解?

kai龍(五毛) · 2021-06-19T19:20:49+08:00

係歷史的發展上面, 二次方程的解法係公元前古巴比倫已經有, 三次方程係1530年被Tartaglia解決, 四次方程係1540由Ferrari解決, 但之後就無法突破, 而微積分的發明更加令到當時的數學家覺得有方法搵五次方程的解 (year 1 / AL 程度)微積分練習1: 證明任何五次方程 x^5 + ax^4 + cx^3 + dx^2 + ex + f = 0 (a, b, c, d, e都係real numbers) 都會有一個real root. More generally, 證明任何單數次方程with real number coefficients都有一個real root. 解三次方程的橋大約係對 x^3 + ax^2 + bx + c 用substitution x = y - a/3, 就可以將條equation轉做 y^3 + py = q 的樣, 然後假設個solution係兩個cube roots的和, 再運算一下就可以計到答案解四次方程的橋第一步同三次一樣, 都係對 x^4 + ax^3 + bx^2 + cx sub x = y - a/4 就可以變成 y^4 + py^2 + qy = r的樣, 然後用一D極華麗的運算就可以將佢變成一條三次方程, 於是就可以用三次方程公式解決於是當時的數學家就打算用同一條藥方去解五次方程, 但係都無功而還, 因為最後竟然會令條方程越搞越禍, 即使係一條好簡單的五次方程 x^5 + px + q = 0 都搞到一鑊粥. 最後由Ruffini係1799提出, 由Abel (Abel prize果個Abel) 係1824年比一個完整的證明, 其描述如下: 不存在一條只包括四則運算及有理數指數的五次方程公式解要注意的係呢條定理唔係否定所有五次方程都無只含有四則運算及有理數指數的根 (例如x^5 = 1大家都知個根係1), 而係指無一條只包含四則運算及有理數指數的萬能公式去解一次五次方程而呢個搵公式的旅程由Galois終結, Galois係1832年前就發現左Galois theory (係1846年 (佢死後約14年) 先由Liouville代其發表), 其表述如下: 一條多項式方程存在使用四則運算及有理數指數的解當且僅當其Galois group is solvable. 順帶一提, 呢度已經出現左兩個悲劇數學家, Abel同Galois, 係入正題之前可以講下佢地幾悲劇 Abel (1802-1829) : 大約18歲的時候死老豆, 一直係窮撚, 寄篇文去拎資助果陣篇文又唔知點解唔見左, 而上邊提到佢的大作Abel-Ruffini又因為佢無錢所以只能夠縮頭到得返六頁, 然後佢寄比Gauss又比Gauss掟埋一邊無理到, 佢有另一篇大作又比Cauchy無視 (究竟Gauss同Cauchy呢兩條茂利害左幾多個數學家 lol) (而呢篇文又係係佢死後先有人係櫃桶底度搵返出黎), 之後佢因為肺癆而死, 而係佢死後兩日Crelle (數學界現時著名期刊Crelle's Journal的創辦人) 幫佢搵到份柏林大學教授職位, 享年26歲 Galois (1811-1832) : 佢人生完全係傳奇, 因為佢表達完全係1999 (佢留低的手稿都無乜人明佢想講乜, 可以google望下佢的真跡), 因為政治而坐過兩次監, 岩岩坐完第二次監就 (相傳爭女) 就同一決鬥最後傷重不治, 享年20歲. 但係似乎佢知道呢次決鬥會死, 係決鬥之前三日就瘋狂將佢的數學發現寫低, 仲係咁寫"我無時間啦", 而佢對佢細佬的遺言係"唔好喊呀Alfred, 我需要全部勇氣先可以係20歲死架渣" 題外話, 歷史上有好多英年早逝的數學家, 最著名的有Ramanujan (1887- 1920, 32歲, 病死), Riemann (1826-1866, 40歲, 又係肺癆), Mirzakhani (1977-2017, 40歲, 2014 Fields Medalist, 死於癌症) 其他的有 Pavel Urysohn (1898-1924, 26歲, 游水浸死, 讀Topology一定聽過佢個大名) Andreas Floer (1956-1991, 34歲, 自殺, 發明左Floer homology, topologist應該都聽過佢個大名) 谷山豊 (1927-1958, 31歲, 自殺, 其谷山-志村猜想的特例可以用黎證明Fermat's Last Theorem) Gotthold Eisenstein (1823-1852, 29歲, 死於肺癆, 讀代數果陣必定會讀到Eisenstein's criterion) Oswald Teichmüller (1913-1943, 30歲, KIA(參加納粹軍)) ===================================================== (待續)