好重要的係, 我地唔可能將所有概念都用物理或者感知世界上的野去形容, 呢篇文的角度係由簡單數學的角度去解說: (如果有興趣深究可以睇references)
如果用一個非常intuitive的講法形容dimension, 就係"我地需要用幾多個variables去形容整個世界"
例如 real line (R), 每一點都直接搵個real number代表佢, 咁我可以一個variable表達哂, 所以 real line係one dimensional object.
同樣道理, 我地需要兩個variables去概活一個real plane (R^2), 每一點可以寫做 (x, y), 所以我地要用兩個variables去表達成個R^2, 所以 R^2 係 2 dimensional
同樣道理, R^n 有n個coordinates, 我地用 (x_1, x_2, ..., x_n) 表達D點, 所以 R^n 係n-dimensional.
而 2x2 real matrices由於有4個variable, 所以佢係一個 4-dimensional object.
當然呢個講法有D唔precise, 呢度介紹三種基本的dimension的定義 (小弟非專家, 深D的等班專家解答)
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A. Vector Space
讀過linear algebra的一定唔會陌生, 可以跳過
簡單黎講, vector space的dimension係我地需要有幾多個coordinates去形容佢, coordinate係指vectors的linear combination (即係 a_1 v_1 + ... + a_k v_k 的樣) 的coefficients
我地希望呢種表達係唯一的, 呢一種特殊的set of vectors我地叫 basis:
(check basis的方法:
(i) 所有vector都可以寫做呢堆vector的linear combination; &
(ii) 如果 a_1 v_1 + ... + a_k v_k = 0 則有 a_1 = ... = a_k = 0)
例子:
1. R^2
{(1, 0), (0, 1)} 係一組basis, 因爲任何點 (x, y) 都可以 uniquely 寫做
(x, y) = x(1, 0) + y(0, 1)
對應的coodinates係 (x, y)
但另一方面, {(1, 0), (1, 1)} 都係basis, 任何點 (x, y) 都可以寫做
(x, y) = (x - y)(1, 0) + y(1, 1)
對應的coordinates係 (x - y, y)
雖然個coordinates唔同, 但兩者共通點係
a. 表達係唯一 w.r.t. the basis,
b. 都係兩個coordinates.
2. R^n
我地可以用 {e_n} (e_n 係第n個entry係1, 其他係0) 做basis.
3. Zero vector space
如果個vector space得支zero vector的話會係zero-dimensional, 個basis係empty (數學的convention係empty sum = 0)
4. Polynomials
有一D vector space唔可以用有限支 vector 的linear combination砌出黎, 例如 polynomials,
{1, x, x^2, x^3, ...} 係一個basis (by fundamental theorem of algebra or calculus)
但係呢個set有無限支vectors 所以我地叫呢種space做infinite dimensional space.
維度會受coefficient係乜野影響
e.g.
(a) complex numbers (C)
(i) 如果我地容許coefficients係 C 的話, 就會係1 dimensional (其中一個basis係 {1})
(ii) 但係 coefficient限制係 R的話就會 2 dimensional (其中一個basis係 {1, i})
(b) R
(i) 前面提過coefficient係real numbers的話 dimension係 1 (basis係咩?)
(ii) 但係如果coefficient係 rational numbers 的話, 就會係無限 (Hint: 證明 如果 p_1, ..., p_n 係distinct primes, a_1, ..., a_n 係integers, a_1 log p_1 + ... + a_n log
p_n = 0 會implies a_1 = ... = a_n = 0)
linear algebra話比我地聽, 如果coefficient係F, 而dimension係n 的話, 個vector space同 F^n 一樣, 即係我地可以用 n 個黎自 F 的variables表達個space.
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