[9up數學] 咩叫維度? (數學角度)

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2019-04-25 05:40:11
呢篇係一篇短文, 應該兩個post之內會講完

好重要的係, 我地唔可能將所有概念都用物理或者感知世界上的野去形容, 呢篇文的角度係由簡單數學的角度去解說: (如果有興趣深究可以睇references)

如果用一個非常intuitive的講法形容dimension, 就係"我地需要用幾多個variables去形容整個世界"

例如 real line (R), 每一點都直接搵個real number代表佢, 咁我可以一個variable表達哂, 所以 real line係one dimensional object.
同樣道理, 我地需要兩個variables去概活一個real plane (R^2), 每一點可以寫做 (x, y), 所以我地要用兩個variables去表達成個R^2, 所以 R^2 係 2 dimensional
同樣道理, R^n 有n個coordinates, 我地用 (x_1, x_2, ..., x_n) 表達D點, 所以 R^n 係n-dimensional.
而 2x2 real matrices由於有4個variable, 所以佢係一個 4-dimensional object.

當然呢個講法有D唔precise, 呢度介紹三種基本的dimension的定義 (小弟非專家, 深D的等班專家解答)

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A. Vector Space

讀過linear algebra的一定唔會陌生, 可以跳過

簡單黎講, vector space的dimension係我地需要有幾多個coordinates去形容佢, coordinate係指vectors的linear combination (即係 a_1 v_1 + ... + a_k v_k 的樣) 的coefficients
我地希望呢種表達係唯一的, 呢一種特殊的set of vectors我地叫 basis:

(check basis的方法:
(i) 所有vector都可以寫做呢堆vector的linear combination; &
(ii) 如果 a_1 v_1 + ... + a_k v_k = 0 則有 a_1 = ... = a_k = 0)

例子:
1. R^2
{(1, 0), (0, 1)} 係一組basis, 因爲任何點 (x, y) 都可以 uniquely 寫做

(x, y) = x(1, 0) + y(0, 1)


對應的coodinates係 (x, y)

但另一方面, {(1, 0), (1, 1)} 都係basis, 任何點 (x, y) 都可以寫做

(x, y) = (x - y)(1, 0) + y(1, 1)


對應的coordinates係 (x - y, y)
雖然個coordinates唔同, 但兩者共通點係
a. 表達係唯一 w.r.t. the basis,
b. 都係兩個coordinates.

2. R^n
我地可以用 {e_n} (e_n 係第n個entry係1, 其他係0) 做basis.

3. Zero vector space
如果個vector space得支zero vector的話會係zero-dimensional, 個basis係empty (數學的convention係empty sum = 0)

4. Polynomials
有一D vector space唔可以用有限支 vector 的linear combination砌出黎, 例如 polynomials,
{1, x, x^2, x^3, ...} 係一個basis (by fundamental theorem of algebra or calculus)
但係呢個set有無限支vectors 所以我地叫呢種space做infinite dimensional space.

維度會受coefficient係乜野影響
e.g.
(a) complex numbers (C)
(i) 如果我地容許coefficients係 C 的話, 就會係1 dimensional (其中一個basis係 {1})
(ii) 但係 coefficient限制係 R的話就會 2 dimensional (其中一個basis係 {1, i})

(b) R
(i) 前面提過coefficient係real numbers的話 dimension係 1 (basis係咩?)
(ii) 但係如果coefficient係 rational numbers 的話, 就會係無限 (Hint: 證明 如果 p_1, ..., p_n 係distinct primes, a_1, ..., a_n 係integers, a_1 log p_1 + ... + a_n log
p_n = 0 會implies a_1 = ... = a_n = 0)

linear algebra話比我地聽, 如果coefficient係F, 而dimension係n 的話, 個vector space同 F^n 一樣, 即係我地可以用 n 個黎自 F 的variables表達個space.
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2019-04-25 06:08:16
B. Manifolds

讀過geometry或者topology的朋友應該唔會陌生, 呢個post唔會準確定義咩叫manifold, 有興趣的自己去睇書 (利申: 小弟唔識geometry)
簡單黎講, 就係個世界上面某一點望落"好似"係 R^n (或者 C^n, depending on the field you concern)

例如 f(x) = x^2 的graph, 如果拗彎DD, 佢就會望落好似條切線 (打斜的 R) 咁, 所以呢個係一個 1 dimensional manifold
例如係 x = 1/2

將個graph拗彎DD就變左條直線啦

另一個1 dimensional manifold的例子係circles
將circle的一個arc拎出黎拗彎佢就變左直線

一個2-dimensional 的物體係 unit sphere (空心波)
學過multivariable calculus的同學都知每一點我地都可以畫到一個tangent plane (plane只係移動左的 R^2)


Source: Wikipedia, 但我做左少少處理係黑夜mode好睇D

如果我地將果點附近畫個"圈", 再拗下佢, 就會係個tangent plane上面
所以佢係一個 2-dimensional manifold.

n-dimensional manifold例如有
n-dimensional sphere (即 (x_1, x_2, ..., x_n), 符合 x_1^2 + ... + x_n^2 = 1)
n = 1 : circle, n = 2 : sphere

n-dimensional torus
n = 1 : circle, n = 2: donut 層皮

Source: Wikipedia, 但我做左少少處理係黑夜mode好睇D

但更高維的我地就好難想像到lu~

地平撚你地同我聽住, 有學過Multivariable Calculus都知, 將個波放到好大, 你望少少同個tangent plane其實好似樣, 咁地面望落係平仲係唔係地球係平的證據?

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C. Fractals

前兩者都係係 non-negative integers, 而有堆數學家得閒無聊走去研究堆核核突突的sets. 其中一個最經典的係 Cantor set:

由一條長 1 unit 的線, 抽走中間三份之一, 再係剩望的兩條線段再各自抽走三份之一, 如此類推, 最後剩返的點就係Cantor set.
如果concretely 講的話, 就係 [0, 1] 的點, 如果用base 3 寫出黎的話, 其中一個寫法令到無任何一個位會出現1, 例如
1/3 = 0.022... (base 3)
1 = 0.22... (base 3)


Source: Wikipedia, 但我做左少少處理係黑夜mode好睇D

呢個set有好多著名的特性:
(i) "長度"係0 (每次抽走的長度係 2^{n - 1} / 3^n, 個 sum岩岩好係 1)
(ii) 呢個係一個compact set (實際上係perfect set)
(iii) 呢個set uncountable (因爲佢係對應 {0, 2}^N, 又或者你話因爲佢係infinite perfect set)
(iv) 將呢個set放大三倍, 會獲得兩個Cantor sets.

如果我地比一個positive的"長度", 叫 L, 比呢個Cantor set的話, 而呢個Cantor set的"dimension" 係 s, 咁放大三倍之後, 個總長度應該係 3^s 咁多倍 (想像 將正方形放大三倍, 面積
會變左 9倍, etc.)
但係我地得兩個pieces, 用我地對長度的認知 (兩個互不相交的圖形的面積就咁加埋), 總長度應該係 2L, 即係話我地有
3^s L = 2L
解出 s = log 2 / log 3
呢個 s 我地會叫佢做 Hausdorff dimension of Cantor set.

如果用返呢個 s 計返個"長度"的話,我地會得到 L = 1.

有唔少的Fractals的Hausdorff dimension都唔係整數, 其他著名例子有:
Sierpinski Triangle: log 3 / log 2

Source: Wikipedia, 但我做左少少處理係黑夜mode好睇D

Sierpinski Carpet: log 8 / log 3

Source: Wikipedia, 但我做左少少處理係黑夜mode好睇D
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實際上仲有好多種唔同的維度, 但係小弟不才, 唔識其他點搞lu~

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References:

A. Friedberg, Insel, Spence. Linear Algebra 4th edition, Chapter 1
B. Lee, John M. Introduction to Smooth Manifolds 2nd edition, Chapter 1
C. Falconer. Fractal Geometry - Mathematical Foundations and Applications 3rd edition, Chapter 3.1-3.3
2019-04-25 06:16:27
太長要分兩個post
2019-04-25 06:36:43
維特少年的角度
2019-04-25 07:02:20
我覺得呢個post要置頂等d成日講維度既人睇完先講
2019-04-25 07:14:22
幾個鐘後考
2019-04-25 07:14:46
大家唔好quote長文
2019-04-25 07:17:42
n-dimensional sphere (即 (x_1, x_2, ..., x_n), 符合 x_1^2 + ... + x_n^2 = 1)
n = 1 : circle, n = 2 : sphere

是咪漏咗x_0
2019-04-25 07:19:13
oh yes, thanks
原本唔想再 x_{n + 1}唔記得加返x_0
2019-04-25 10:01:35
又中又英好難睇

一係你就全英,一係就全中,唔該你
2019-04-25 10:03:20
已放棄
2019-04-25 10:03:38
學我 每個po開波前講幾點
2019-04-25 10:07:09
今次我失策唔記得左
2019-04-25 10:11:42
有d terminology我連中文係咩都唔知
2019-04-25 10:40:50
2019-04-25 10:41:44
2019-04-25 10:44:51
咦漏左講 R^n 本身係 n dimensional manifold添
2019-04-25 11:27:17
通常啲人睇唔明就會話人又中又英
2019-04-25 11:39:41
Lm
2019-04-25 11:56:17
strong post lm
2019-04-25 12:03:33
全英其實就唔會有人睇
而全中實際上仲難睇過又中又英
2019-04-25 12:41:11
唔明啲terms
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