[DSE台] 讀M2嘅入黎（不定時更新）

一開始就講番咩叫二項式定理先啦！

第一樣嘢唔少得嘅一定係nCr

唔知你地有無背過一個咁嘅嘢（唔記得左咩名）
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1

二項式定理就係講解爆開一個(ax+by) ^n 嘅一個定理
一個n 次方程爆開之後係有n+1個項
每個項嘅由第一舊數落去（n=0,1,2...)係
nCr (ax) ^n (by) ^(n-r)

講個例我地最熟嘅恆等式(ax+b) ^2
每一舊就分別係2C0 (ax) ^2+2C1(ax) (b) +2C2 (b) ^2
姐係a^2x^2+2abx+b^2

咁考試呢就有兩種考法
1.已知次方數目，搵番某項嘅系數
2. 已知某項系數，搵番幾多次方

講住黎到先，今晚10點左右講埋落去
比少少練習你地做住先
爆開（2x+3) ^3
爆開 (x/2+2)^5
展開 (2/x+x) ^6 + 搵x^3的系數

呢啲直接入cal機架嘛，要自己計嘅咩
3秒同你拆10次方，仲計埋系數

呢d pure math 野根本唔會考
咪撚放山埃嚇人啦

呢啲直接入cal機架嘛，要自己計嘅咩
3秒同你拆10次方，仲計埋系數

理論上唔知10次，計到常數爆機先停

講下system of linear equation
matrix vector呢啲topic啦

一開始就講番咩叫二項式定理先啦！

第一樣嘢唔少得嘅一定係nCr

唔知你地有無背過一個咁嘅嘢（唔記得左咩名）
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1

二項式定理就係講解爆開一個(ax+by) ^n 嘅一個定理
一個n 次方程爆開之後係有n+1個項
每個項嘅由第一舊數落去（r=0,1,2...)係
nCr (ax) ^(n-r) (by) ^r

講個例我地最熟嘅恆等式(ax+b) ^2
每一舊就分別係2C0 (ax) ^2+2C1(ax) (b) +2C2 (b) ^2
姐係a^2x^2+2abx+b^2

咁考試呢就有兩種考法
1.已知次方數目，搵番某項嘅系數
2. 已知某項系數，搵番幾多次方

講住黎到先，今晚10點左右講埋落去
比少少練習你地做住先
爆開（2x+3) ^3
爆開 (x/2+2)^5
展開 (2/x+x) ^6 + 搵x^3的系數

呢d pure math 野根本唔會考
咪撚放山埃嚇人啦

乜宜家咁嫁
sorry 囉

一開始就講番咩叫二項式定理先啦！

第一樣嘢唔少得嘅一定係nCr

唔知你地有無背過一個咁嘅嘢（唔記得左咩名）
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1

二項式定理就係講解爆開一個(ax+by) ^n 嘅一個定理
一個n 次方程爆開之後係有n+1個項
每個項嘅由第一舊數落去（r=0,1,2...)係
nCr (ax) ^(n-r) (by) ^r

講個例我地最熟嘅恆等式(ax+b) ^2
每一舊就分別係2C0 (ax) ^2+2C1(ax) (b) +2C2 (b) ^2
姐係a^2x^2+2abx+b^2

咁考試呢就有兩種考法
1.已知次方數目，搵番某項嘅系數
2. 已知某項系數，搵番幾多次方

講住黎到先，今晚10點左右講埋落去
比少少練習你地做住先
爆開（2x+3) ^3
爆開 (x/2+2)^5
展開 (2/x+x) ^6 + 搵x^3的系數

第一類 已知次方數目，求系數( coefficient )
通常有兩個考法
第一個考法有兩舊嘢會乘埋（唔排除3舊）
姐係(x+3)^4(x+2)^3，搵x^2的系數
做法如下
method 1: 死爆，爆到5舊乘4舊，再爆到20舊，慢慢搵慢慢做
好處：可以拎到一定分數
壞處：易出錯，晒時間
method 2：自己數(1) x*x (2)x^2*constant (3) constant * x^2
(2)+(1)+(3)
4c2*3c3*(2^3)+4c3*3c2+4c4*3^4*3C2
好處：快
壞處：會數漏，計錯左nCr 個r

第二個考法純爆，但次方好大，如
(2/x+x) ^10 搵x^6的系數
都個果兩個方法做，第一硬爆，第二自己數（如果呢啲可以約嘅，我會畫一個表數）
姐係咁
（最後嘅次方）
-10 0 -10
-9 1 -8
-8 2 -6
-7 3 -4
-6 4 -2
-5 5 0
-4 6 2
...
搵到就唔難做，搵唔到就要prove 係0
prove 法如下(假如搵x嘅系數）
10Cr (2/x)^(10-r)*x^r
=10Cr 2^(n-r) *x^[(r-10)+r]
for x^3,
2r-10=3
r=13/2
therefore, impossible to find x^3嘅系數

一開始就講番咩叫二項式定理先啦！

第一樣嘢唔少得嘅一定係nCr

唔知你地有無背過一個咁嘅嘢（唔記得左咩名）
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1

二項式定理就係講解爆開一個(ax+by) ^n 嘅一個定理
一個n 次方程爆開之後係有n+1個項
每個項嘅由第一舊數落去（r=0,1,2...)係
nCr (ax) ^(n-r) (by) ^r

講個例我地最熟嘅恆等式(ax+b) ^2
每一舊就分別係2C0 (ax) ^2+2C1(ax) (b) +2C2 (b) ^2
姐係a^2x^2+2abx+b^2

咁考試呢就有兩種考法
1.已知次方數目，搵番某項嘅系數
2. 已知某項系數，搵番幾多次方

講住黎到先，今晚10點左右講埋落去
比少少練習你地做住先
爆開（2x+3) ^3
爆開 (x/2+2)^5
展開 (2/x+x) ^6 + 搵x^3的系數

第一類 已知次方數目，求系數( coefficient )
通常有兩個考法
第一個考法有兩舊嘢會乘埋（唔排除3舊）
姐係(x+3)^4(x+2)^3，搵x^2的系數
做法如下
method 1: 死爆，爆到5舊乘4舊，再爆到20舊，慢慢搵慢慢做
好處：可以拎到一定分數
壞處：易出錯，晒時間
method 2：自己數(1) x*x (2)x^2*constant (3) constant * x^2
(2)+(1)+(3)
4c2*3c3*(2^3)+4c3*3c2+4c4*3^4*3C2
好處：快
壞處：會數漏，計錯左nCr 個r

第二個考法純爆，但次方好大，如
(2/x+x) ^10 搵x^6的系數
都個果兩個方法做，第一硬爆，第二自己數（如果呢啲可以約嘅，我會畫一個表數）
姐係咁
（最後嘅次方）
-10 0 -10
-9 1 -8
-8 2 -6
-7 3 -4
-6 4 -2
-5 5 0
-4 6 2
...
搵到就唔難做，搵唔到就要prove 係0
prove 法如下(假如搵x嘅系數）
10Cr (2/x)^(10-r)*x^r
=10Cr 2^(n-r) *x^[(r-10)+r]
for x^3,
2r-10=3
r=13/2
therefore, impossible to find x^3嘅系數

啲字可唔可以寫英文

覺得m2好難 唔想drop但我冇能力讀....

之後就係到MI （全名好似係 mathematics introduction) 數學歸納法

好似skip 左三角學個啲嘢
不過都係背下二倍角公式姐(考試有一題鐘意出，叫你prove）
咁做法都好易，兩個字，鳩爆
亂用啲公式慢慢就砌到，無咩技巧可言
做得多就會大概知咩情況做邊條去做

講番MI先，咁個做法都好死架
1. 假設一樣嘢(unknown 係n )係岩嘅
2. 證明佢n=1 時係岩嘅
3. 假設佢unknown變成k, 成立嘅
4. prove 當n=k+1都成立
5. 禮成，講番句一開波個假設係岩嘅

咁MI考法有兩種
一，prove 一樣嘢=另一樣嘢
二，prove 一樣嘢係可以比一個數整除

第一種
prove 1^2+2^2+3^2+⋯+n^2=(n(n+1)(2n+1))/6

step 1:
let 1^2+2^2+3^2+⋯+n^2=(n(n+1)(2n+1))/6 be S(n)

step 2:
when n=1, L.H.S=1
R. H. S=1(1+1)(2+1)/6=1=L. H. S
therefore, S(1) is true (成立）

step 3:
assume 1^2+2^2+3^2+⋯+k^2=(k(k+1)(2k+1))/6 is true for k is a positive integer.
假設對於任一正數k,S(k) 成立
即1^2+2^2+3^2+⋯+k^2=(k(k+1)(2k+1))/6

step 4:
whenn=k+1

L. H. S=1^2+2^2+3^2+⋯+k^2+(k+1)^2
=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)^2
=(k+1)(2k^2+k+6k+6)/6
=(k+1)(k+2)(2k+3)/6

R. H. S=(k+1)(k+1+1)(2(k+1)+1)/6
=(k+1)(k+2)(2k+3)/6=L. H. S

therefore, S(k+1) is true

Therefore, by the principle of mathematical induction" and restating the original claim.
所以，根據數學歸納法原理，假設對於任一自然數 S(n) 成立

之後就係到MI （全名好似係 mathematics introduction) 數學歸納法

好似skip 左三角學個啲嘢
不過都係背下二倍角公式姐(考試有一題鐘意出，叫你prove）
咁做法都好易，兩個字，鳩爆
亂用啲公式慢慢就砌到，無咩技巧可言
做得多就會大概知咩情況做邊條去做

講番MI先，咁個做法都好死架
1. 假設一樣嘢(unknown 係n )係岩嘅
2. 證明佢n=1 時係岩嘅
3. 假設佢unknown變成k, 成立嘅
4. prove 當n=k+1都成立
5. 禮成，講番句一開波個假設係岩嘅

咁MI考法有兩種
一，prove 一樣嘢=另一樣嘢
二，prove 一樣嘢係可以比一個數整除

第一種
prove 1^2+2^2+3^2+⋯+n^2=(n(n+1)(2n+1))/6

let 1^2+2^2+3^2+⋯+n^2=(n(n+1)(2n+1))/6 be S(n)
when n=1, L.H.S=1
R. H. S=1(1+1)(2+1)/6=1=L. H. S
therefore, S(1) is true (成立）


assume 1^2+2^2+3^2+⋯+k^2=(k(k+1)(2k+1))/6 is true for k is a positive integer.
假設對於任一正數k,S(k) 成立
即