[DSE 2019] 你地溫 數學 又溫成點呢？ [8]

會考巴
你是我的偶像

matrix part d可唔可以咁做？
(M^n)^-1
=(M^-1)^n
=1/(-5)^n (-6 -7;1 2)^n
Take A=(0 0;0 0), B=(-6 -7;1 2)^n
therefore there exist such A,B

照我理解就唔得嘅
佢題目嘅用詞係想講A同B independent of n

有part d ?

條matrix個答案寫得簡潔咗
未研究點解個AB出嚟個結果咁神，入面似乎有啲theory喺度

pure 04, 05 同埋 dse practice paper 出過類似嘅嘢
theory 方面其實都係啲基本嘅 linear algebra 嚟

似乎今年係Pure嗰條嘅數字版
但望落個guidelines仲少過pure

我都覺
marking 可能係要啲考生 observe 到
M^n = A + (-5)^n*B
之後就估可能 ((M^n)^-1) = A + (1/(-5)^n)*B
之後就夾硬乘埋 A + (-5)^n*B 同 A + (1/(-5)^n)*B 睇下係咪 I
仲要係逐個 entry 咁做
未必會好似你咁用 A 同 B 嘅性質嚟做

part c

我當時份卷就係格硬爆，爆到收卷都未搞掂
後尾研究下A同B發現原來啲性質好神奇

(a) 其實係玩緊 Cayley–Hamilton theorem
M^2 = -4M+5I
M^2+4M-5I=0
(M+5I)(M-I)=0
M+5I 就係後來嘅 A 嘅某個 scalar multiple
而 M-I 就係後來嘅 B 嘅某個 scalar multiple
所以兩者乘埋就一定係零
留意 -5 同 1 係 M 嘅 eigenvalue

另外
M^2 = -4M+5I
M^2+10M+25I = 6M+30I
(M+5I)^2 = 6(M+5I)
[(1/6)(M+5I)]^2 = (1/6)(M+5I)
如果取 A=(1/6)(M+5I) 就得到 A^2=A
同樣地
M^2 = -4M+5I
M^2-2M+I = -6M+6I
(M-I)^2 = -6(M-I)
[(-1/6)(M-I)]^2 = (-1/6)(M-I)
如果取 B=(-1/6)(M-I) 就得到 B^2=B

留意 A 同 B 都係 M 同 I 嘅 linear combination
所以佢地嘅某個 linear combination 係可以出返 M 同 I 的
而結果就係 A+B=I 同埋 A-5B=M

再講落去就真係要出動 linear algebra
利申：唔識

就咁睇，似乎個2x2 matrix只要有distinct eigenvalues就做到類似結果

勾起返啲linear algebra嘅回憶

應該係啦

同咁嘅方法求 M^n 同用 diagonalisation 應該係 equivalent 的
而 2x2 matrix 只要有 distinct eigenvalues 就可以 diagonalise

有無人會做M1份卷

會有step分
唔識就真係乜分都無

OD = projection of OA on normal vector of PI (i.e. AB x AC)
求 projection of a vector on another vector 應該係 M2 嘅 standard 嘢嚟

咁你用咩方法
我無諗過其他方法