[Math] Independent or Dependent?

首先睇下independent events既def.
Two events A and B are independent if and only if their joint probability equals the product of their probabilities: P(A∩B)=P(A)P(B)
跟住今日發現有個case計出黎照def睇係independent但覺得實際上又唔似係independent,
假設有4個波分別叫1,2,3,4號,會隨機抽1個number既波出黎
而家當event A係抽中1或2號,event B係抽中1或3號
咁既話P(A∩B)會係1/4,因為一定要抽中1號先得
P(A)係2/4=1/2,P(B)都係2/4=1/2,咁所以P(A)P(B)=1/4=P(A∩B)
咁好明顯表面上合乎左P(A∩B)=P(A)P(B)呢個要求
但其實諗深D會發現如果抽中1號波會同時令2件事一齊發生,抽中4號波又會令2件事一齊唔發生,
咁可唔可以話2件事其實係有關係(dependent)既呢?
又如果我而家total唔止4個波,變左有5個波分別係1-5號
咁既話P(A)就變左2/5,P(B)又係2/5,P(A∩B)會係1/5(因為要抽中1號)
今次就發現(2/5)(2/5)係唔等於1/5,所以5個波個case一定係dependent既
就算睇埋3個波,(2/3)(2/3)都唔等於1/3,亦都係dependent
咁點解唯獨是4個波個case要係independent?明明大家都係抽緊波對number姐
加上去睇埋wiki個def都話係if and only if,換句話說P(A∩B)=P(A)P(B)既話,
就一定要話佢係independent
但明明抽一個number出黎係會一次過影響哂event A同B既result,
咁唔係應該當成dependent合理d?加上試過3同5個波既case都真係dependent,
就算6,7,8...個波既case再計都一定係dependent,
咁點解4個波果陣因為咁岩計到P(A∩B)=P(A)P(B)就唔係?
覺得係/唔係既話都可以幫手解釋下你係點諗/點解?thanks

等我諗下先

睇咗一半
想問下你抽完第一次之後個波入唔入返個pool?

成個experiment只會抽1個ball
得出1個number

你抽得一次
咁你要中晒A同B嘅咪只可以抽中1
咁咪1/4
點樣independent

When two events are said to be independent of each other, what this means is that the probability that one event occurs in no way affects the probability of the other event occurring.

上面係google嘅
你個1號波影響晒兩個event
唔會係independent啦

P（A|B) = ?

For n =4

P(A) is 1/2 with/without prior knowledge of B

independence 只係關條等式事,同logic 無關

兩個events independent只係代表其中一個發生左都唔會影響另一個event發生既probability, 唔代表兩個events完全無關

漏咗 P(A|B)=P(A), P(B|A)=P(B)
要呢兩樣成立先至算indep

而家當event A係抽中1或2號,event B係抽中1或3號
咁既話P(A∩B)會係1/4,因為一定要抽中1號先得
P(A)係2/4=1/2,P(B)都係2/4=1/2,咁所以P(A)P(B)=1/4=P(A∩B)
咁好明顯表面上合乎左P(A∩B)=P(A)P(B)呢個要求
但其實諗深D會發現如果抽中1號波會同時令2件事一齊發生,抽中4號波又會令2件事一齊唔發生,
咁可唔可以話2件事其實係有關係(dependent)既呢?

上面話event A係抽中1號或2號
下面話如果抽中1號
根本講緊唔同event

但計出黎係
P(A given B)=P(A)
P(B given A)=P(B)
都合乎埋independent-.-
我都覺得唔應該係本身
但隔硬sub落去又變左係
應該只可以睇式決定隔硬話係

咁解既話係好合理既
咁姐係永遠照sub式睇等唔等於就算-.-
indepenent呢個字原來真係咁冇意義

case1: 兩個人分開同時抽S1=S2= {1,2,3,4}其中一個number Person1 抽S1 Person2抽S2
得出黎結果 P(AnB)=P(A)*P(B)

case2: 分round1,2 抽 S={1,2,3,4} 其中一個number ,得出同樣結果

case3: 一個人係同1round 抽 {1,2,3,4}其中一個數字 , 其中 A={1,2} , B={1,3} (呢件事已經wrong definition ，因為佢只係抽一次，冇可能抽一次抽到係1又會出現係唔同既set，所以正確既definition應該係A={1,2} and B={3,4}
係同一round入面let 其中一個element into different sets 已經concept 上有錯

有錯請屌

probability係你而家面對的問題的數學model, 唔好將你個問題啲性質同埋數學概念撈亂。

用P(B|A)=P(B)嚟諗會好啲，反正你兩個event都唔係impossible

P(B|A)意思係指假設A已發生
即係sample space入面唔關事嘅會被踢走
新嘅reduced sample space = A = {1, 2}
而由於符合B嘅數字喺reduced sample space咁啱都佔咗1/2
所以巧合地係independent

數學定義個名既同現實感覺有出入唔出奇
你個情況可以當數學果個定義比較general
整呢堆定義主要既原因係協助formulate同build up個theory