那些DSE同學所不知道的事－－那些年的A-level數學

RX-78-2 · 2017-05-04T11:42:50+08:00

又到公開試的季節，看到同學們為努力讀書，與公開試搏鬥，好不青春。小弟當年讀的是舊制課程，考的是舊制公開試。據小弟所知，轉了新制後，有研究報告指學生的數理能力持續下降，甚至有大學課程要開enrichment課程，為同學惡補大學所需的數學，好讓他們可以趕得上大學的進度。當然，小弟不是教育的專家，也不知道轉制對同學數理能力的影響有多大。但起碼從「美學」的角度來說，新制大幅度刪減AL課程，同學的確少了很多機會去接觸一些優美又奧妙的數學課題，又無辨法可以對數學的嚴謹有所認識。相較起DSE數學以運算為主，A-level數學著重的嚴謹的思維與邏輯，及對數學「美學」的觸覺。從一堆看似不相干的數學結果中推論出優美的新結論，那種快樂及滿足感是純粹做運算無可比擬的。對小弟來說，DSE的數學是「工匠」的數學，AL的數學是「藝術家」的數學（雖然也只是很初階的「藝術家」數學）。即使以實用性來說，A-level數學的複數、圓錐曲線、微分方程等也是科學、工程，甚至是金融經濟中必不可少的數學工具。所以小弟突然有感而發，想跟大家分享一下舊制的數學課程，並給大家看一下當年的試題，感受一下當年的數學之美。所謂的A-level，全稱Advanced level，有兩科數學科，分別是Pure Mathematics（純粹數學）及Applied Mathematics（應用數學）。另外有一科AS-level（Advanced Supplementary Level）的Mathematics and statistics（數學及統計學），AS-level相等如半科的A-level，所以課程簡單得多，比較貼近今天DSE數學的M1，小弟就不在此多討論了。 Pure Mathematics分兩份卷，卷一是代數，卷二是微積分。當年Pure Mathematics難到最多同學，但同時也是最美及最巧妙的課題，自然是inequalities。這個課題非常考同學的數學觸覺，可惜今天的同學已經無機會接觸到AM-GM inequality、Cauchy-Schwarz inequality等大名鼎鼎的數學不等式。以下是一題當年典型的inequalities題目：另一個消失了的大課題是complex number（複數），今天的DSE課程只是約略地談及複數的運算，已經沒有了Argand diagram、De Moivre’s theorem等重要概念，須知道這兩個概念甚至在再舊一點的時代甚至只是會學程度（中五程度）的課題。Complex number在科學計算中是非常有用的工具，電學、波動學，甚至量子力學都會見到它們的影子。單從數學來說，它也是我們分析高次方程及三角函數的有用工具。把複數結合三角函數，往往會得出一些意想不到的巧妙結果：以下是一題很精彩的高次方程問題，分析高次方程的實數根的數量，當中也隱隱地滲透一點複數的概念：