如果兩地相隔一段路程,中間一半是平地一平地是泥濘,車子在平地上走得較快,在泥濘上走得較慢,如何找出一條適當的路徑,讓車子最快抵達目的地?這條路徑不是直線,而是兩折直線,需要用微分方法,才可找出轉彎點的位置,使行駛時間最短。
幾何光學也有類似的例子。光線從空氣的一點走到水中的一點,會選擇那一條路徑?我們可用光線在兩個介質的折射率分別乘以距離,然後兩項相加,成為一個「作用量」S=l1+nl2,原來在眾多可能一路徑中,自然界會選擇使 S 達至最小的那一條路徑,這就是所謂費馬原理 (Fermat Principle)。按照費馬原理得出的光線路徑和幾何光學中的斯涅爾定律 (Snell’s law) 得出的路徑完全一致。
我們可以把費馬原理 (Fermat Principle) 應用至折射率連續變化的情況。這是「海市蜃樓」中,光線路徑的示意圖。當的光線在空氣中的折射率隨著與地面的距離 (越近地面越熱) 而連績變化,「作用量」S 便需要寫成折射率 n 對距離 l 的積分,而光線會「選擇」走一條路徑,使 S 的值變得最小。
在古典力學中,我們可以透過牛頓力學計算物體運動的路徑。例如,石子在空中受地球引力加速,一秒鐘後下跌了約50 m。但從另一個度看,從運動的起點到終點有無限多條可能的路徑,都可以使石子在一秒鐘後到達 50 m,為何自然界偏要選擇牛頓力學預測的路徑?原來我們可以計算一個奇怪的「作用量」(Action) S :首先把物體的動能 T 減去位能 V,再沿著眾多不同的路徑,把L=T-V對時間做積分,從開始至結束的時間,便得出一系列不同路徑的 S 值;然後我們就會發現,自然界所選擇那—條路徑、即牛頓力學所預測的運動路徑,就是對應於「作用量」S 最小的那一條路徑。這個尋求 S 達至最小值的原理,稱為「最小作用量原理」(Principle of Least Action)。
